2 . 设数列单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则称为数列的信息熵．
(1)已知存在正整数，满足，，2，…，，，
①求（用含的表达式表示）；
②证明：数列的信息熵小于2；
(2)请写出，，，四个表达式的大小关系，并说明理由．

3 . 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.
(1)求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，；
(2)整数.定义数列.设e为自然对数的底数.
（i）求证：；
（ii）求证：.

4 . （多选）任取集合的个非空子集，定义为记所得的个值之和为，则（       ）

A．与的奇偶性相同	B．是的一个倍数
C．的最小值为	D．的最大值为

5 . 我们定义的函数使得在上，证明：，当且仅当.
过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设，，．得到关于，的表达式（提示：，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题．

6 . 若，的解从小到大排成，那么若．则的整数部分是______．

7 . 在中，，的外接圆圆心为，内切圆的圆心为，垂心为，为的中点，在上的投影为，以为半径作．
(1)证明：，相切；
(2)记，的切点为，直线交于点，为线段上一点，满足，证明：直线和的交点在的外接圆上．

8 . 设为空间直角坐标系中的一个非空闭凸集，即，且若，则对任意有，且对任意的，都存在，使得，这里为线段的长度．称的下确界或最大下界为，定义为小于等于在中的所有数的最大实数，如果不存在这样的实数，则记为．已知若为闭集，则为开集.
(1)设点，，证明：为非空闭凸集，并求．
(2)证明：对任意，存在唯一的一个，使得；
(3)证明：对任意，存在非零向量以及实数，使得对任意，都有：．

9 . 已知正整数，集合，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令．
(1)直接写出的两个元素及的元素个数；
(2)已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值；
(3)证明：对任意，，，，总存在，使得．

10 . 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．
(1)写出的所有可能情况，并求；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)设抛掷n次硬币后的期望为，求．