1 . 已知点，在双曲线（，）上，直线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点；
(3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.

2 . 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程．
(2)设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点．
（ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0．
（ⅱ）求面积的最大值．

3 . 已知为奇函数.
(1)求a的值；
(2)若对恒成立，求实数k的取值范围；
(3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.

4 . 为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为.
(1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望；
(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数.

5 . 已知函数（）．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，求实数的取值范围．

6 . 已知的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.

7 . 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．

8 . 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.

(1)在斜坐标系中，，求；
(2)在斜坐标系中，，且与的夹角.
①求；
②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小.

9 . 已知函数为函数的极值点.
(1)求实数的值，并求出的极值；
(2)若时，关于的方程有两个不相等实数根.
①求实数的范围；
②求证.