1 . 设数列满足，.

(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.

2 . 已知曲线方程为，过的直线与曲线交于两点，用反证法证明：以为直径的圆不经过原点.

3 . 已知函数存在两个极值点，，且．
(1)求的取值范围；
(2)若，求正实数的取值范围．

4 . 已知函数的导数为，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求曲线在点处的切线方程．

5 . 已知函数，（其中为自然对数的底数，）．
(1)若时，试确定函数的单调区间；
(2)若函数恰有个零点，求实数的取值范围．

6 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.

7 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为．
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)设圆与直线交于点，若点的坐标为，求点到两点的距离的和．

8 . 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为为参数，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .⁤
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)设点 ，直线与曲线的交点为 ，求的值.

9 . 党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018～2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1～5分别对应2018～2022年）如下折线图:
   
(1)根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数 与年份代码的相关系数 ，并由此判断其相关性的强弱；
(2)试求出关于的线性回归方程.
参考数据：
参考公式：相关系数，当时认为两个向量间的相关性较强，回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

10 . （1）设，，，用综合法证明：；
（2）已知，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.