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解析
| 共计 824 道试题
1 . 群的概念由法国天才数学家伽罗瓦(1811-1832)在19世纪30年代开创,群论虽起源于对代数多项式方程的研究,但在量子力学晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合,“”是一个适用于中元素的运算,若同时满足以下四个条件,则称对“”构成一个群:(1)封闭性,即若,则存在唯一确定的,使得;(2)结合律成立,即对中任意元素都有;(3)单位元存在,即存在,对任意,满足,则称为单位元;(4)逆元存在,即任意,存在,使得,则称互为逆元,记作.一般地,可简记作可简记作可简记作,以此类推.正八边形的中心为.以表示恒等变换,即不对正八边形作任何变换;以表示以点为中心,将正八边形逆时针旋转的旋转变换;以表示以所在直线为轴,将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换,即表示将正八边形先进行变换再进行变换的变换.以形如,并规定的变换为元素,可组成集合,则对运算“”可构成群,称之为“正八边形的对称变换群”,记作.则以下关于及其元素的说法中,正确的有(       
A.,且
B.互为逆元
C.中有无穷多个元素
D.中至少存在三个不同的元素,它们的逆元都是其本身
今日更新 | 80次组卷 | 1卷引用:2024届山西省高考一模数学试题

2 . 对于非空集合,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”,简记为.而判断是否为一个群,需验证以下三点:

1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足

2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足

3.(恒等元)存在,使得对任意

4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得

记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).


(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
今日更新 | 221次组卷 | 2卷引用:2024届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型)

3 . 在空间直角坐标系中,任何一个平面的方程都能表示成,其中,且为该平面的法向量.已知集合.


(1)设集合,记中所有点构成的图形的面积为中所有点构成的图形的面积为,求的值;
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为中所有点构成的几何体的体积为,求的值:
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.

①求W的体积的值;

②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小,并指出W的面数和棱数.

昨日更新 | 167次组卷 | 1卷引用:山东省济南市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题
解答题-证明题 | 困难(0.15) |
4 . 已知集合),若存在数阵满足:


则称集合为“好集合”,并称数阵的一个“好数阵”.
(1)已知数阵的一个“好数阵”,试写出的值;
(2)若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
(3)判断是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
昨日更新 | 46次组卷 | 1卷引用:北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习(一)数学试题
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5 . 填空:(1)被9除余2的所有整数组成的集合可表示为______
(2)不等式组的解集为A,则______
(3)已知集合,则______
(4)满足的集合B的个数是______
(5)已知集合,则的关系是______
7日内更新 | 4次组卷 | 1卷引用:复习题一
填空题-双空题 | 适中(0.65) |
名校
解题方法

6 . 设表示不超过的正整数集合,表示k个元素的有限集,表示集合A中所有元素的和,集合,则_________;若,则m的最大值为_________

7日内更新 | 702次组卷 | 4卷引用:黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷
解答题-证明题 | 困难(0.15) |
名校

7 . 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形Km(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合,就称K具有对称性,并记mK的一个对称变换.例如,正三角形R(绕中心O作120°的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示),所以R的一个对称变换,考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系,记;又如,R(关于对称轴所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示),所以也是R的一个对称变换,类似地,记.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群,假如同时满足:

I.

II.

Ⅲ.

Ⅳ.

对于一个群G,称Ⅲ中的e为群G的单位元,称Ⅳ中的a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的代数运算来说作成一个群.

   


(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素);
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一,如.对于集合S中的元素,定义一种新运算*,规则如下:

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;

②已知H是群G的一个子群,e分别是GH的单位元,分别是a在群G,群H中的逆元.猜想e之间的关系以及之间的关系,并给出证明;

③写出群S的所有子群.

填空题-单空题 | 适中(0.65) |
8 . 记不超过的最大整数为,若集合,集合,当或1或内的无理数时,;当为既约真分数)时,.若(表示中任意一个元素都大于中任意一个元素),则的取值范围是___________.
7日内更新 | 17次组卷 | 1卷引用:第十届高一试题(A卷)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析(高中版)
10 . 设集合,其中.若对任意的向量,存在向量,使得,则称A是“T集”.
(1)设,判断MN是否为“T集”.若不是,请说明理由;
(2)已知A是“T集”.
(i)若A中的元素由小到大排列成等差数列,求A
(ii)若c为常数),求有穷数列的通项公式.
共计 平均难度:一般