名校
1 . 已知有限集
，如果
中的元素
满足
，就称为“完美集”．
(1)判断：集合
是否是“完美集”并说明理由；
(2)
是两个不同的正数，且
是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
(3)若
为正整数，求：“完美集”.
，如果中的元素满足，就称为“完美集”．(1)判断：集合
是否是“完美集”并说明理由；(2)
是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；(3)若
为正整数，求：“完美集”.
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7日内更新
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870次组卷
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3卷引用：上海市延安中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质检测数学试卷
名校
解题方法
2 . 设集合
，若X是
的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.
(1)当
时，写出的所有奇子集；
(2)求证：当
时，的所有奇子集的个数等于偶子集的个数；
(3)当时，求的所有奇子集的容量之和.
，若X是的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.(1)当
时，写出的所有奇子集；(2)求证：当
时，的所有奇子集的个数等于偶子集的个数；(3)当
时，求的所有奇子集的容量之和.
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名校
3 . 给定整数，由
元实数集合
定义其随影数集
.若
，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数
为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合
是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：
；
，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合
是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集
，求证：；
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名校
解题方法
4 . 记
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求证：对于任意
，都有
，且存在
，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数
，均有
.
.(1)若
，求和；(2)若
，求证：对于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定义在
上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有.
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2024-06-11更新
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263次组卷
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3卷引用：湖南省岳阳市第一中学2024届高三下学期高考适应性考试数学试题
湖南省岳阳市第一中学2024届高三下学期高考适应性考试数学试题（已下线）贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题
名校
5 . 已知
为实数集的一个非空子集，称
是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①
，
；
②
，
；
③
，
，使得
；
④，
，使得
．
例如
是一个无限元加法群，
是一个单元素加法群．
(1)令
，
，分别判断
，
是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合
，并且
，有
，求证：
是一个加法群；
(3)已知非空集合
，并且
，有
，求证：存在
，使得
．
为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：①
，；②
，；③
，，使得；④
，，使得．例如
是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．(1)令
，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；(2)已知非空集合
，并且，有，求证：是一个加法群；(3)已知非空集合
，并且，有，求证：存在，使得．
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解题方法
6 . 已知集合
（
，且
）．若集合，
同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质．
条件（1）：
，
，且，都至少含有两个元素；
条件（2）：对任意不相等的
，
，都有
，对任意不相等的
，
，都有
．
(1)当
时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合；
(2)若集合，具有性质，且
，
，求证：
；
(3)若存在集合，具有性质，求的最大值．
（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质．条件（1）：
，，且，都至少含有两个元素；条件（2）：对任意不相等的
，，都有，对任意不相等的，，都有．(1)当
时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合；(2)若集合
，具有性质，且，，求证：；(3)若存在集合
，具有性质，求的最大值．
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2024高一上·全国·专题练习
7 . 设集合为非空数集，定义
，
．
(1)若
，写出集合
、
；
(2)若
，
，且
，求证：
；
(3)若
，且
，求集合元素个数的最大值．
为非空数集，定义，．(1)若
，写出集合、；(2)若
，，且，求证：；(3)若
，且，求集合元素个数的最大值．
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名校
8 . 给定正整数
，集合
.若存在集合，，
，同时满足下列三个条件：
①
，
；
②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）；
③集合，，中各元素之和分别为
，
，
，有
；
则称集合
为可分集合.
(1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，；
(2)当
时，是不是可分集合？判断并说明理由；
(3)已知为偶数，求证：“
是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件.
，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件：①
，；②集合
中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）；③集合
，，中各元素之和分别为，，，有；则称集合
为可分集合.(1)已知
为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，；(2)当
时，是不是可分集合？判断并说明理由；(3)已知
为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件.
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9 . 已知是R的非空真子集，如果对任意
，都有
，则称是封闭集．
(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合
是封闭集，则
也是封闭集；
命题
：非空集合是封闭集，则
是
是封闭集的充要条件；
(3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集
是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题
：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；(3)若非空集合
是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集
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10 . 设集合
，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①
，且Q中至少有两个元素；
②对于任意
，当
，都有
；
③对于任意
，若
，则
；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
(1)若集合
，求集合P1的“耦合集”
；
(2)集合
，且
，若集合
存在“耦合集”
．
（i）求证：对于任意
，有
；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．
，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：①
，且Q中至少有两个元素；②对于任意
，当，都有；③对于任意
，若，则；则称集合Q为集合P的“耦合集”．
(1)若集合
，求集合P1的“耦合集”；(2)集合
，且，若集合存在“耦合集”．（i）求证：对于任意
，有；（ii）求集合
的“耦合集”的元素个数．
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