1 . 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”．
(1)判断数集是否为“数集”；
(2)已知数集是“数集”，证明：
①；
②．
(3)已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：．

3 . 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
(1)写出集合的一个“有趣的”四元子集：
(2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
(3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．

4 . 已知正整数，集合，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令．
(1)直接写出的两个元素及的元素个数；
(2)已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值；
(3)证明：对任意，，，，总存在，使得．

6 . 设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．
(1)若，求集合；
(2)若，求的所有可能的值组成的集合；
(3)若，求证：．

7 . 设集合或，中的元素，，定义：．若为的元子集，对，都存在，使得，则称为的元最优子集．
(1)若，且，试写出两个不同的；
(2)当时，集合，证明：为的2元最优子集；
(3)当时，是否存在2元最优子集，若存在，求出一个最优子集，若不存在，请说明理由．

8 . 数列是正项递增数列，由数列中所有项构成集合A，它的任意一个子集记为，定义集合B是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1个数，2个数，……n个数之和）.
(1)若，写出，以及集合B；
(2)，将集合B中的元素分成n组，要求每组中最大项与最小项之比不超过2，证明一个符合题意的分组；
(3)，将集合B中的元素分成n组，要求与（2）相同，证明存在这个分组.