1 . 如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．
      
(1)求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
(2)若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．

2 . 如图所示，若将边长为的正方形纸片折叠，使得点始终落在边.（不与点重合），记为点，点折叠以后对应的点记为点为折痕.设点和点间的距离为，折痕的长度为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（       ）
   

A．在上先增后减

B．在上先减后增

C．在上存在最大值

D．在上存在最小值

3 . 在一次数学兴趣课上，老师给出了一道试题给大家讨论：
“已知不全为零的实数a、b、c满足，求的最大值.”
甲很快提出自己的见解：这不就是柯西不等式么，直接可以求；
乙：柯西不等式我不是很清楚，但是我觉得可以构造向量的数量积解决问题；
丙：我愿意尝试一下消元，看看字母少点会不会好做点；
丁：这与解析几何中的距离公式相似，能不能尝试推广到空间.
聪明的你可以尝试使用他们的说法，或者自己设计思路可得其正确的最大值为________.

4 . 已知函数，，．
(1)求的值域，
(2)记的值域为D，试问是否存在a，使得集合有且只有2个元素？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考公式：．

5 . 已知变量x与y的一组样本数据满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得．若变量，则当z的预测值最大时，变量x的取值约为（       ）

A．5.4

B．10.9

C．14.8

D．29.6

6 . 一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划．如图，是边长为米的正方形菜园，扇形区域计划种植花生，矩形区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．分别在上，在弧上，米，设矩形的面积为（单位：平方米）．

(1)若，请写出（单位：平方米）关于的函数关系式；
(2)求的最小值．

7 . 已知复数，设复数分别对应复平面上的点.定义复数.
(1)若，求；
(2)当点在线段上运动时，求的最大值.

8 . 设b、c均为实数，关于的方程.
(1)是否存在实数b、c，使得该方程在复数集上仅有两个共轭虚根，如存在，请写出一组b、c；如不存在，请说明理由；
(2)试求该方程在复数集上有最多个互不相等的根时，实数b、c满足的条件.

9 . 下列四个命题：
①复数在复平面中对应的点在第二象限
②已知幂函数为偶函数，则
③若函数定义域为，则
④，恒成立
其中真命题的序号是______．（把真命题的序号都填上）

10 . 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.

(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2)设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？