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1 . 三角函数的定义是：在单位圆C：
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为
，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积
．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：
中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是
，双曲角
，则P的坐标是
．其中，
称为双曲余弦函数，
称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数
双曲余切函数
且有如下关系式：
，
,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；
②
；
（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；
②若对
，关于x的方程
有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为
，写出
的级数展开式．
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，
,的初等函数表达式．（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；②
；（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；②若对
，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为，写出的级数展开式．
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解题方法
2 . 若函数
是函数
（
，且
）的反函数，且满足
，则
（ ）
是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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3 . 我们知道，函数与
互为反函数．一般地，设A，B分别为函数
的定义域和值域，如果由函数可解得唯一
也是一个函数（即对任意一个
，都有唯一的
与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作
．在中，y是自变量，x是y的函数．习惯上改写成
的形式.反函数具有多种性质，如：①如果
是的反函数，那么也是的反函数；②互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称；③一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性是一致的．
(1)已知函数的图象在点
处的切线倾斜角为60°，求其反函数的图象在
时的切线方程；
(2)若函数
，试求其反函数
并判断单调性；
(3)在（2）的条件下，证明：当
时，
，
．
与互为反函数．一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作．在中，y是自变量，x是y的函数．习惯上改写成的形式.反函数具有多种性质，如：①如果是的反函数，那么也是的反函数；②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；③一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性是一致的．(1)已知函数
的图象在点处的切线倾斜角为60°，求其反函数的图象在时的切线方程；(2)若函数
，试求其反函数并判断单调性；(3)在（2）的条件下，证明：当
时，，．
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24-25高一上·全国·课后作业
4 . 写出下列指数函数的反函数：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
(1)
；(2)
；(3)
．
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5 . 已知偶函数
的反函数
的图象的对称中心是
，则
______ .
的反函数的图象的对称中心是，则
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6 . 若指数函数
经过点
，则它的反函数
的解析式为（ ）
经过点，则它的反函数的解析式为（ ）A． | B． | C． | D． |
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7 . 设
，
，定义
（
，且
为常数），若
，
，
．
①
不存在极值；
②若
的反函数为
，且函数
与函数
有两个交点，则
；
③若
在
上是减函数，则实数的取值范围是
；
④若
，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
其中真命题的序号有（ ）
，，定义（，且为常数），若，，．①
不存在极值；②若
的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；③若
在上是减函数，则实数的取值范围是；④若
，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．其中真命题的序号有（ ）
| A．① | B．② | C．③ | D．④ |
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8 . 函数
（且）的图象经过点
，则函数
的反函数
______ ．
（且）的图象经过点，则函数的反函数
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解题方法
9 . 下列叙述正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点 ，则该函数在 上单调递减 |
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ” |
C．函数 的单调递增区间为 |
D．函数 与函数 互为反函数 |
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解题方法
10 . 已知函数
，函数
与互为反函数.
(1)若函数
的值域为
，求实数
的取值范围；
(2)求证：函数
仅有1个零点
，且
.
，函数与互为反函数.(1)若函数
的值域为，求实数的取值范围；(2)求证：函数
仅有1个零点，且.
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2024-03-01更新
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252次组卷
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2卷引用：湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
