1 . 函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（       ）

A．-37

B．-5

C．1

D．5

3 . 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．

       

(1)将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数；
(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差；
(3)在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值．

4 . 定义运算：，已知函数，．
(1)若函数的最大值为0，求实数a的值；
(2)若函数存在两个极值点，，证明：；
(3)证明：．

6 . 为了让人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
(1)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；
(2)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点．

7 . 已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围.

8 . 信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画一些随机事件的不确定程度.设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)若随机变量的分布列如下表所示.求的值；(2)若，求的最大值及对应的，的值；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，，试判断与的大小关系.

9 . 下列选项正确的是（        ）

A．若数列满足，，则;

B．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为;

C．定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则关于的不等式的解集为 ;

D．若函数，则曲线是中心对称图形.