1 . 已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程，并证明：当时，恒成立；
(2)若有两个不同的实数根，且，证明：.

2 . 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．

(1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？

3 . 已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．

4 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：.

5 . 设函数，记．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数的图象恒在的图象的下方，求实数a的取值范围．

6 . 已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)设，讨论函数的零点个数．

7 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，当时，若在上恒成立，求实数a的取值范围．

8 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值.

9 . 已知函数，函数的图象在处的切线方程为．
（1）当时，求函数在上的最小值与最大值;
（2）若函数有两个零点，求a的值．

10 . 已知函数．
（I）若是的极值点，求的单调区间；
（II）求a的范围，使得恒成立．