组卷网 > 知识点选题 > 函数单调性、极值与最值的综合应用
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解析
| 共计 111 道试题

1 . 若,都存在唯一的实数,使得,则称函数存在“源数列”.已知.


(1)证明:存在源数列;
(2)(ⅰ)若恒成立,求的取值范围;

(ⅱ)记的源数列为,证明:项和.

2 . 已知,则(       
A.的值域为
B.时,恒有极值点
C.恒有零点
D.对于恒成立
7日内更新 | 75次组卷 | 1卷引用:广东省茂名市五校联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题

3 . 微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断,从几何上看,定积分便是由直线和曲线所围成的区域(称为曲边梯形)的面积,根据微积分基本定理可得,因为曲边梯形的面积小于梯形的面积,即,代入数据,进一步可以推导出不等式:


(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,证明:
(2)已知函数,其中

①证明:对任意两个不相等的正数,曲线处的切线均不重合;

②当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围.

2024-03-20更新 | 700次组卷 | 1卷引用:湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题
4 . 已知函数,记,则(       
A.若正数的从小到大的第n个极值点,则为等差数列
B.若正数的从小到大的第n个极值点,则为等比数列
C.上有零点
D.上有且仅有一个零点
2024-03-10更新 | 109次组卷 | 1卷引用:浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
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5 . 若过点可作曲线n条切线,则(       
A.若,则
B.若,且,则
C.若,则
D.过,仅可作的一条切线
2024-03-09更新 | 378次组卷 | 2卷引用:广东省2024届高三下学期2月大联考数学试题
6 . 多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由…等多个自变量唯一确定的因变量,则当变化为时,变化为,记的导数,其符号为.和一般导数一样,若在上,已知,则随着的增大而增大;反之,已知,则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外,还具有下列性质:①可加性:;②乘法法则:;③除法法则:;④复合法则:.记.(为自然对数的底数),
(1)写出的表达式;
(2)已知方程有两实根.
①求出的取值范围;
②证明,并写出的变化趋势.
2024-03-06更新 | 796次组卷 | 2卷引用:广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三上学期数学周测试题(12)
7 . 已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)设分别为的极大值点和极小值点,记
(ⅰ)证明:直线AB与曲线交于另一点C
(ⅱ)在(i)的条件下,判断是否存在常数,使得.若存在,求n;若不存在,说明理由.
附:
8 . 已知函数,将曲线绕原点逆时针旋转,得到曲线.
(1)证明:存在唯一的实数,使得曲线是某个函数的图形,并求出
(2)取,设是曲线图象上任意一点,将曲线绕点逆时针旋转,得到函数曲线,设函数的极小值为,求的单调性.
2024-02-10更新 | 165次组卷 | 1卷引用:重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题

9 . 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C上的曲线段,其弧长为,当动点从A沿曲线段运动到B点时,A点的切线也随着转动到B点的切线,记这两条切线之间的夹角为(它等于的倾斜角与的倾斜角之差).显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义为曲线段的平均曲率;显然当B越接近A,即越小,K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度,因此定义(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y',y''分别表示在点A处的一阶、二阶导数)


(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率;
(2)求椭圆处的曲率;
(3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点,且PQ处的“柯西曲率”相同,求的取值范围.
2024-01-29更新 | 2276次组卷 | 6卷引用:浙江省宁波市镇海中学2024届高三上学期期末数学试题

10 . 若存在使得对任意恒成立,则称为函数上的最大值点,记函数上的所有最大值点所构成的集合为


(1)若,求集合
(2)若,求集合
(3)设为大于1的常数,若,证明,若集合中有且仅有两个元素,则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列.
共计 平均难度:一般