名校
1 . 设函数
，
(1)证明：
有两个零点；
(2)记
是的导数，
为的两个零点，证明：
．
，(1)证明：
有两个零点；(2)记
是的导数，为的两个零点，证明：．
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2024-09-19更新
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273次组卷
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2卷引用：内蒙古包头市第六中学等多校联考2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题
名校
解题方法
2 . 若函数
在
上存在
，使得
，
，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数
是否是
上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数
，存在
，使得
，且是
上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求
的取值范围；
②证明：
.
在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.(1)判断函数
是否是上的“双中值函数”，并说明理由；(2)已知函数
，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.①求
的取值范围；②证明：
.
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2024-09-19更新
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781次组卷
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7卷引用：内蒙古赤峰红旗中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题
3 . 已知函数
，
.
(1)求证：
有且仅有三零点.
(2)设
为最小的零点，证明：当
，
.
，.(1)求证：
有且仅有三零点.(2)设
为最小的零点，证明：当，.
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名校
4 . 已知函数
.
(1)在
处切线斜率为2，求；
(2)当
时，
①
，证明：
；
②判断的零点个数，并说明理由.
.(1)
在处切线斜率为2，求；(2)当
时，①
，证明：；②判断
的零点个数，并说明理由.
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5 . 定义在区间
上的函数满足：若对任意
，且
，都有
，则称是上的“好函数”．
(1)若
是
上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（ⅰ）证明：
是
上的“好函数”．
（ⅱ）设
，证明：
．
上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．(1)若
是上的“好函数”，求的取值范围．(2)（ⅰ）证明：
是上的“好函数”．（ⅱ）设
，证明：．
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2024-07-15更新
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444次组卷
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6卷引用：内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
名校
6 . 对于函数，若实数满足
，则称为的不动点．已知函数
．
(1)当
时，求证
；
(2)当
时，求函数的不动点的个数；
(3)设，证明
．
，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．(1)当
时，求证；(2)当
时，求函数的不动点的个数；(3)设
，证明．
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2024-07-01更新
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380次组卷
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2卷引用：2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量数据监测文数试卷
7 . 已知函数
.
(1)若函数
在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(2)若
，且
，证明：
.
.(1)若函数
在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；(2)若
，且，证明：.
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名校
解题方法
8 . 已知函数
.
(1)当，求函数
的图象在点
处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若有两个零点，则
.
.(1)当
，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若
恒成立，求a的取值范围；(3)证明：若
有两个零点，则.
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2024-06-20更新
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687次组卷
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5卷引用：内蒙古自治区锡林郭勒盟2023-2024学年高二下学期末学业质量抽测数学试题
名校
解题方法
9 . 已知函数
．
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：
．
．(1)当
时，求的极值；(2)若
恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：
．
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2024-06-13更新
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304次组卷
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10卷引用：内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特市第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特市第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测（三）文科数学试卷河北省邯郸市十校联考2023-2024学年高二下学期一调考试数学试题重庆市第十八中学2023-2024学年高二下学期中期学习能力摸底考试数学试题重庆市巴南育才实验中学校2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题（已下线）专题5 导数与不等式恒成立问题【练】福建省泉州第一中学2023-2024学年高三下学期适应性测试数学试卷广东省广州市黄广中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（已下线）专题19 导数综合（5大考向真题解读）陕西省榆林市神木市第四中学2024-2025学年高三上学期第二次检测考试数学试题
名校
解题方法
10 . 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线
具有连续转动的切线，在点
处的曲率
，其中
为的导函数，
为的导函数，已知
．
(1)时，求在极值点处的曲率；
(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3)
，
，当，
曲率均为0时，自变量最小值分别为
，
，求证：
．
具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．(1)
时，求在极值点处的曲率；(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3)
，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：．
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2024-05-23更新
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474次组卷
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4卷引用：内蒙古自治区通辽市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
内蒙古自治区通辽市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（已下线）拔高点突破05 函数与导数背景下的新定义压轴解答题（九大题型）
