1 . 如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由.

2 . 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.

(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.

3 . 某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.

(1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
(2)求修建道路的总费用的最小值.

4 . 夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上．
(1)求此时钓友与小孩之间的距离．
(2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因．

5 . 龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（       ）

A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆	B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆
C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒	D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒

6 . 如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（       ）
   

A．D在C的北偏西60°方向	B．D在C的北偏西30°方向
C．D，C相距a km	D．D，C相距

7 . 重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.

   

(1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：）

8 . 雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；
假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，．
以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．

(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；
(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）

9 . 如图，飞鸟甲、小鱼乙处于同一平面，甲自左向右飞行，甲发现乙在水面上以的速度自左向右作匀速直线运动（此时甲、乙之间的距离为10m，乙在甲右偏下60°的方向上），立刻以的速度斜向下作匀速直线运动，则甲一次性成功捕获乙的最短时间约为______.（，结果保留两位有效数字）

10 . 已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足，，（单位：米）．
(1)求三角形花园的面积（精确到平方米）；
(2)若三角形个内角均小于，到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离和最小）．