1 . 对于平面向量
，定义“
变换”： 
，其中
表示
中较大的一个数，
表示中较小的一个数.若
，则
.记
.
(1)若
，求
及
；
(2)已知
，将
经过
次变换后，
最小，求的最小值；
(3)证明：对任意
，经过若干次变换后，必存在
，使得
.
，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记.(1)若
，求及；(2)已知
，将经过次变换后，最小，求的最小值；(3)证明：对任意
，经过若干次变换后，必存在，使得.
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2024-08-16更新
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302次组卷
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3卷引用：数学01（全国通用）-新高二上学期数学开学摸底考试卷
名校
2 . 已知n维向量
，给定
，定义变换
；选取
，再选取一个实数x，对
的坐标进行如下改变：若此时
，则将
同时加上x．其余坐标不变；若此时
，则将
及
同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量
满足
，则称a为k阶可等向量．例如，向量
经过两次变换
可得：
，所以是2阶可等向量．
(1)判断
是否是2阶可等向量？说明理由；
(2)若取1，2，3，4的一个排序得到的向量
是2阶可等向量，求
；
(3)若任取
的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称
为k阶强可等向量．求证：向量
是5阶强可等向量．
，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．(1)判断
是否是2阶可等向量？说明理由；(2)若取1，2，3，4的一个排序得到的向量
是2阶可等向量，求；(3)若任取
的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．
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2024-07-09更新
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338次组卷
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4卷引用：北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期开学摸底测验数学试题
北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期开学摸底测验数学试题北京市海淀区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题北京市海淀区中央民族大学附属中学2023-2024学年高一年级下学期期末考试数学试题 （已下线）专题7 线性代数、抽象代数与数论背景的新定义压轴大题（三）【讲】
名校
解题方法
3 . 在平面直角坐标系
中，已知抛物线
和点
.点
在
上，且
.
(1)求的方程；
(2)若过点
作两条直线
与
，与相交于
，
两点，与相交于
，
两点，线段
和
中点的连线的斜率为
，直线，，
，
的斜率分别为
，
，
，
，证明：
，且
为定值.
中，已知抛物线和点.点在上，且.(1)求
的方程；(2)若过点
作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
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2024-01-29更新
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2256次组卷
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10卷引用：江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期期初抽测数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期期初抽测数学试题内蒙古自治区锡林郭勒盟2023-2024学年高三上学期1月期末教学质量检测理科数学试题江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）内蒙古包头市2024届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题湖南省常德市临澧县第一中学2023-2024学年高三第七次阶段性考试数学试题（已下线）2024年高考数学二轮复习测试卷（新题型，江苏专用）（已下线）专题07 双曲线与抛物线（分层练）（五大题型+12道精选真题）（已下线）黄金卷04（2024新题型）（已下线）题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧（已下线）高二下学期期末考试02（范围：必修+选修）-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）
名校
解题方法
4 . 已知椭圆
，
、
为椭圆的焦点，
为椭圆上一点，满足
，
为坐标原点．
(1)求椭圆的方程和离心率．
(2)设点
，过的直线
与椭圆交于、两点，满足
，点满足
满足，求证：点在定直线上．
，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点．(1)求椭圆
的方程和离心率．(2)设点
，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上．
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2023-12-20更新
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278次组卷
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2卷引用：北京市第八十中学2024届高三下学期开学考试数学试卷
名校
解题方法
5 . 记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求；
(2)若是
上的一点，且
，求
的最小值．
的内角的对边分别为，已知．(1)求
；(2)若
是上的一点，且，求的最小值．
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2023-09-16更新
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2387次组卷
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3卷引用：江苏省苏州市震泽中学2025届高三上学期滚动练习卷1（开学考试）数学试题
江苏省苏州市震泽中学2025届高三上学期滚动练习卷1（开学考试）数学试题THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题（已下线）专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题 （11大核心考点）（讲义）
6 . 在中，，
，
，分别是角，，的对边，请在①
；②
两个条件中任选一个，解决以下问题：的大小；
(2)如图，若为锐角三角形，且其面积为
，且
，
，线段
与线段
相交于点，点
为重心，求线段
的取值范围.
中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：
的大小；(2)如图，若
为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围.
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2023-07-18更新
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1405次组卷
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7卷引用：辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二上学期期初考试数学试题
辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二上学期期初考试数学试题四川省成都市成都市石室中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题江西省萍乡市安源中学2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题（已下线）专题02 解三角形（2）-【常考压轴题】（已下线）第一次月考卷02-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）第11章 解三角形 单元综合检测（难点）--《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）江西省宜春市丰城市东煌学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
名校
解题方法
7 .
是边长为1的正三角形，点
四等分线段（如图所示）．
的值；
(2)若
是线段的
等分点，
，其中
，
，
，求
的值；
(3)为边上一动点，当
取最小值时，求
的长．
是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
的值；(2)若
是线段的等分点，，其中，，，求的值；(3)
为边上一动点，当取最小值时，求的长．
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2022-08-15更新
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1533次组卷
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9卷引用：江苏省盐城市响水中学2022-2023学年高二上学期期初检测数学试题
江苏省盐城市响水中学2022-2023学年高二上学期期初检测数学试题（已下线）专题3平面向量的数量积运算 （提升版)（已下线）专题13 平面向量(讲义)-2重难点：平面向量综合检测（提高卷）（已下线）专题05 平面向量基本定理-《重难点题型·高分突破》（已下线）第9章 平面向量 单元综合检测（重点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）高一下学期期中复习解答题压轴题十八大题型专练（1）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）单元测试B卷——第六章 平面向量及其应用江苏省南京市某校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
名校
解题方法
8 . 如图所示，在中，在线段BC上，满足
，是线段的中点．
交于点Q（图1），求
的值；
(2)过点的直线与边，
分别交于点E，F（图2），设
，
．
（i）求证
为定值；
（ii）设
的面积为
，的面积为
，求
的最小值．
中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
交于点Q（图1），求的值；(2)过点
的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．（i）求证
为定值；（ii）设
的面积为，的面积为，求的最小值．
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2022-04-23更新
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2355次组卷
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13卷引用：黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高二上学期开学调研考试数学试题
黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高二上学期开学调研考试数学试题浙江省A9协作体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题上海市金山中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）6.3.1平面向量基本定理（精讲）（2）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学模拟试题（已下线）模块二 专题1 《平面向量》单元检测篇 B提升卷 （苏教版）江苏省无锡市四校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题河南省周口市太康县第一高级中学2022-2023学年高一下学期2月月考数学试题（已下线）专题05 平面向量基本定理-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）重庆市巴南区部分学校2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题（已下线）第一次月考解答题压轴题十六大题型专练（1）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.1 向量的概念和线性运算-同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）（已下线）作业01 平面向量及其应用-【暑假分层作业】（苏教版2019必修第二册）
名校
解题方法
9 . 在中，
为所在平面内的两点，
，
．
（1）以
和
作为一组基底表示
，并求
；
（2）为直线
上一点，设
，若直线
经过的垂心，求
．
中，为所在平面内的两点，，．（1）以
和作为一组基底表示，并求；（2）
为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求．
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2021-06-20更新
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1745次组卷
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8卷引用：安徽省六安市第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题
安徽省六安市第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题山东省青岛市青岛第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题山东省青岛胶州市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题江西省宁冈中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一下学期4月质量检测数学试题（已下线）高一数学下学期期中精选50题（压轴版）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）江苏省镇江中学2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题（已下线）高一下期中真题精选（压轴60题专练）
名校
解题方法
10 . 如图，梯形
，
，
，
，为中点，
．
时，用向量
表示的向量
；
(2)若
为大于零的常数），求
的最小值，并指出相应的实数
的值．
，，，，为中点，．
时，用向量表示的向量；(2)若
为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值．
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2022-11-25更新
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1615次组卷
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16卷引用：甘肃省甘谷第一中学2018-2019学年高一下学期子才班选拔数学试题
甘肃省甘谷第一中学2018-2019学年高一下学期子才班选拔数学试题浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2019-2020学年高一(7-10班)下学期期初数学试题浙江省9+1高中联盟2016-2017学年高一下学期期中联考数学试题浙江省高中联盟2016-2017学年高一下学期期中联考数学试题（已下线）2019年一轮复习讲练测 5.2 平面向量的基本定理及坐标表示【浙江版】【测】福建省南平市浦城县2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题上海市格致中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题沪教版(2020) 必修第二册 新课改一课一练 第8章 单元复习（已下线）第06讲 平面向量的数量积（二）（已下线）第六章平面向量及其应用(综合检测卷)上海市进才中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）核心考点01平面向量及其应用（3）（已下线）专题01 平面向量压轴题（2）-【常考压轴题】（已下线）专题04 向量的数量积（2）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）【巩固卷】第8章 平面的向量 单元测试B沪教版（2020）必修第二册
