1 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有0个黑球的概率为.
(1)求的值；
(2)根据马尔科夫链的知识知道，其中为常数，同时，请求出；
(3)求证：的数学期望为定值.

2 . 已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．

3 . 已知数列的前项和为，且.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

4 . 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，求证：.

5 . 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求使取得最大值时的值.

6 . 已知是数列的前n项和，，，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

7 . 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为，规定：.

(1)计算前4行的最后两个数，试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
(2)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？如存在，请求出的最大值；如不存在，请说明理由.

8 . 如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
(1)若某“4阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
(2)若某“9阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若为“阶万物数列”，求证：．

9 . 已知数列为等比数列，，14，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

10 . 在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.