1 . 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.

2 . 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
(2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H；
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：.

3 . 三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（       ）

A．5

B．6

C．7

D．8

4 . 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，.
(1)计算；
(2)设数列满足，，求的通项公式；
(3)设排列满足，，，，，证明：.

5 . 记.
(1)当时，为数列的前项和，求的通项公式；
(2)记是的导函数，求.

6 . 定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．

7 . 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．

8 . 在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．
(1)若，，求；
(2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．

9 . 将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．
(1)求样本（，2…，15）的相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．
附：相关系数．

10 . 数列满足：是等比数列，，且．
(1)求；
(2)求集合中所有元素的和；
(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．