1 . 曲线的切线、曲面的切平面在平面几何、立体几何以及解析几何中有着重要的应用,更是联系数学与物理学的重要工具,在极限理论的研究下,导数作为研究函数性质的重要工具,更是与切线有着密不可分的关系,数学家们以不同的方法研究曲线的切线、曲面的切平面,用以解决实际问题:
(1)对于函数,分别在点处作函数的切线,记切线与轴的交点分别为,记为数列的第项,则称数列为函数的“切线轴数列”,同理记切线与轴的交点分别为,记为数列的第项,则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数,记的“切线轴数列”为;
②设函数,记的“切线轴数列”为,
则,求的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时,牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法:用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下:设是函数的一个零点,任意选取作为的初始近似值,曲线在点处的切线为,设与轴交点的横坐标为,并称为的1次近似值;曲线在点处的切线为,设与轴交点的横坐标为,称为的2次近似值.一般地,曲线在点处的切线为,记与轴交点的横坐标为,并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根,其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列,我们把该数列称为牛顿数列,令数列满足,且,证明:.(注:当时,恒成立,无需证明)
(1)对于函数,分别在点处作函数的切线,记切线与轴的交点分别为,记为数列的第项,则称数列为函数的“切线轴数列”,同理记切线与轴的交点分别为,记为数列的第项,则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数,记的“切线轴数列”为;
②设函数,记的“切线轴数列”为,
则,求的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时,牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法:用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下:设是函数的一个零点,任意选取作为的初始近似值,曲线在点处的切线为,设与轴交点的横坐标为,并称为的1次近似值;曲线在点处的切线为,设与轴交点的横坐标为,称为的2次近似值.一般地,曲线在点处的切线为,记与轴交点的横坐标为,并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根,其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列,我们把该数列称为牛顿数列,令数列满足,且,证明:.(注:当时,恒成立,无需证明)
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2 . 知识点01等比数列的概念
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,_______ 等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_______ ,通常用字母_______ 表示.
2、对等比数列概念的理解
(1)“从第2项起”,是因为首项没有“前一项”,同时注意公比是每一项与前一项的比,前后次序不能颠倒,另外等比数列中至少含有三项;
(2)定义中的“同一常数”是定义的核心之一,一定不能把“同”字省略,这是因为如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都是一个与无关的常数,但是如果这些常数不相同,那么此数列也不是等比数列,当且仅当这些常数相同时,数列才是等比数列;
(3)若一个数列不是从第2项起,而是从第3项起或第项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,则此数列不是等比数列;
(4)由定义可知,等比数列的任一项都不为0,且公比;
(5)不为0的常数列是特殊的等比数列,其公比为1.
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,
2、对等比数列概念的理解
(1)“从第2项起”,是因为首项没有“前一项”,同时注意公比是每一项与前一项的比,前后次序不能颠倒,另外等比数列中至少含有三项;
(2)定义中的“同一常数”是定义的核心之一,一定不能把“同”字省略,这是因为如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都是一个与无关的常数,但是如果这些常数不相同,那么此数列也不是等比数列,当且仅当这些常数相同时,数列才是等比数列;
(3)若一个数列不是从第2项起,而是从第3项起或第项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,则此数列不是等比数列;
(4)由定义可知,等比数列的任一项都不为0,且公比;
(5)不为0的常数列是特殊的等比数列,其公比为1.
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3 . 知识点02等比数列的通项公式及其推广
1、等比数列的通项公式:等比数列的首项为,公比为,则通项公式为:_______
2、通项公式的推广:______ 或 ______
1、等比数列的通项公式:等比数列的首项为,公比为,则通项公式为:
2、通项公式的推广:
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名校
4 . 设是公比不为1的无穷等比数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的( )
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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解题方法
5 . 若互不相等的正数满足,则( )
A.成等差数列 | B.成等比数列 |
C.成等差数列 | D.成等比数列 |
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6 . 为倡导公益环保理念,培养学生社会实践能力,某中学开展了旧物义卖活动,对于优秀毕业生的笔记本,设计了一种有趣的“掷骰子竞价确定购买资格”的售卖方式:统一以0元为初始竞价,通过掷骰子确定新竞价,若点数大于2,则在上一次竞价基础上增加1元更新竞价,若点数小于3,则在上一次竞价基础上增加2元更新竞价;重复上述过程,直到竞价到达20元,即获得以20元为价格的购买资格,未出现竞价为20元的情况则失去购买资格,并结束竞价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本,准备竞买.
(1)求甲同学竞价为2元的概率;
(2)试估计甲同学获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
(1)求甲同学竞价为2元的概率;
(2)试估计甲同学获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
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7 . 甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为,恰有2个黑球的概率为,恰有1个黑球的概率为,则的数学期望________ .(用表示)
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8 . 高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,如,已知数列满足,,若为数列的前项和,则_________ .
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解题方法
9 . 已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)判断数列是否为等比数列;
(3)证明:数列为等差数列,并求该数列的前项和.
(1)求的通项公式;
(2)判断数列是否为等比数列;
(3)证明:数列为等差数列,并求该数列的前项和.
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