1 . 如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体,现将它们的体积依次记为,.
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于,分别求出和的值;并猜想与的大小关系(猜想不需证明)
(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数、棱数与顶点数满足:.已知正多面体都是简单多面体,设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为,每个面的边数为,求满足的关系式;并尝试据此说明正多面体仅有五种.
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于,分别求出和的值;并猜想与的大小关系(猜想不需证明)
(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数、棱数与顶点数满足:.已知正多面体都是简单多面体,设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为,每个面的边数为,求满足的关系式;并尝试据此说明正多面体仅有五种.
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解题方法
2 . 近些年来,三维扫描技术得到空前发展,从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率,用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定:多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小,用弧度制表示),多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正方体在每个顶点有个面角,每个面角是,所以正方体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为.
(1)求四棱锥的总曲率;
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理:设简单多面体的顶点数为,棱数为,面数为,则有:.利用此定理试证明:简单多面体的总曲率是常数.
(1)求四棱锥的总曲率;
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理:设简单多面体的顶点数为,棱数为,面数为,则有:.利用此定理试证明:简单多面体的总曲率是常数.
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2022-09-19更新
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1088次组卷
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9卷引用:11.2 锥体(第1课时)(七大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)
(已下线)11.2 锥体(第1课时)(七大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(已下线)第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积(练)(已下线)8.1 基本立体图形2(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)(已下线)第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点3 曲率与曲率圆综合训练(已下线)第八章立体几何8.1 空间几何体及其表面积与体积(已下线)专题14 棱柱、棱锥和棱台-《重难点题型·高分突破》(苏教版2019必修第二册)(已下线)专题6 以新定义为背景的相关问题【练】(高一期末压轴专项)(已下线)专题4 立体几何中的新定义压轴大题(过关集训)
3 . 如图,切正方体形状的土豆块,思考可以得到哪些类型的多面体?
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21-22高二·全国·课后作业
4 . 不同的凸多面体中的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系有什么规律吗?
(1)请完成下表;
常见的凸多面体顶点数V、棱数E、面数F的实验观察记录表
(2)提出猜想,写出明确结论;
(3)收集阅读相关资料,完善对问题的理解.
(1)请完成下表;
常见的凸多面体顶点数V、棱数E、面数F的实验观察记录表
所选多面体 | 顶点数V | 棱数E | 面数F | 形成猜想 |
正四面体 | ||||
正方体 | ||||
正八面体 | ||||
正十二面体 | ||||
正二十面体 | ||||
三棱柱 | ||||
五棱锥 | ||||
六棱台 | ||||
自选观察体一 | ||||
自选观察体二 |
(3)收集阅读相关资料,完善对问题的理解.
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20-21高一·全国·课后作业
5 . 画一个六面体:
(1)使它是一个四棱柱;
(2)使它是由两个三棱锥组成的;
(3)使它是五棱锥.
(1)使它是一个四棱柱;
(2)使它是由两个三棱锥组成的;
(3)使它是五棱锥.
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20-21高一·全国·课后作业
6 . 多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的空间图形?
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20-21高一·全国·课后作业
7 . 画一个五面体.
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20-21高二·全国·课后作业
8 . 记A为所有多面体组成的集合,B为所有棱柱组成的集合,C为所有直棱柱组成的集合,D为所有正棱柱组成的集合,写出集合A,B,C,D之间的关系.
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20-21高一·全国·课后作业
9 . 按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).
(1)一个三棱柱和一个多面体;
(2)三个三棱锥.
(1)一个三棱柱和一个多面体;
(2)三个三棱锥.
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解题方法
10 . 如图,在矩形纸片中,,,是上一点.现将纸片沿,进行折叠,使点落在线段上,记,则.
(1)当时,求三棱锥的体积;
(2)若在线段上存在一点,使,求的取值范围;
(3)当时,再将沿进行折叠,若点正好落在线段上,求的值.
(1)当时,求三棱锥的体积;
(2)若在线段上存在一点,使,求的取值范围;
(3)当时,再将沿进行折叠,若点正好落在线段上,求的值.
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