1 . 如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：

   

(1)平面；
(2)平面．

2 . 在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．

(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．

3 . 如图，在正方体中，是棱的中点．

(1)证明：平面；
(2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．

4 . 如图，平面，，点分别为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.

5 . 将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且.

(1)证明：平面；
(2)求的长；
(3)当的长度最小时，求直线到平面的距离.

6 . 如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.

7 . 如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．

8 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别在棱上，且四点共面.

(1)证明：；
(2)若，且二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值.

9 . 如图，在四棱锥中，，，，，平面，，E，F分别是棱，的中点．

   

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．

10 . 如图1，矩形中，，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置．

   

(1)如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；
(2)如图3，设点在平面内的射影落在线段上．
①求证：平面；
②当时，求直线与平面所成的角的余弦值．