1 . 若,则称为维空间向量集,为零向量,对于,任意,定义:
①数乘运算:;
②加法运算:;
③数量积运算:;
④向量的模:,
对于中一组向量,若存在一组不同时为零的实数使得,则称这组向量线性相关,否则称为线性无关,
(1)对于,判断下列各组向量是否线性相关:
①;
②;
(2)已知线性无关,试判断是否线性相关,并说明理由;
(3)证明:对于中的任意两个元素,均有,
①数乘运算:;
②加法运算:;
③数量积运算:;
④向量的模:,
对于中一组向量,若存在一组不同时为零的实数使得,则称这组向量线性相关,否则称为线性无关,
(1)对于,判断下列各组向量是否线性相关:
①;
②;
(2)已知线性无关,试判断是否线性相关,并说明理由;
(3)证明:对于中的任意两个元素,均有,
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解题方法
2 . 在四面体中,,,,设四面体与四面体的体积分别为、,则的值为_________ .
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3 . 如图,四面体中,.
(1)求证:平面平面;
(2)若,
①若直线与平面所成角为30°,求的值;
②若平面为垂足,直线与平面的交点为.当三棱锥体积最大时,求的值.
(1)求证:平面平面;
(2)若,
①若直线与平面所成角为30°,求的值;
②若平面为垂足,直线与平面的交点为.当三棱锥体积最大时,求的值.
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名校
4 . 已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点,空间中一点M满足,其中x,y,,且.当最小时,有( )
A.为等边三角形 |
B. |
C.EM与底面ABCD所成的角是 |
D.四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为 |
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名校
5 . 向量外积(又称叉积)广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量与的叉积,规定的模长为,与、所在平面垂直,其方向满足如图1所示规则,且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律,且.(1)直接写出结果:① ;② ;
(2)空间直角坐标系中有向量,
①若,用含的坐标表示;
②证明:;
(3)如图2所示,平面直角坐标系中有三角形OAB,,试探究的表达式.
(2)空间直角坐标系中有向量,
①若,用含的坐标表示;
②证明:;
(3)如图2所示,平面直角坐标系中有三角形OAB,,试探究的表达式.
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解题方法
6 . 如图,三棱台的底面为锐角三角形,点D,H,E分别为棱,,的中点,且,;侧面为垂直于底面的等腰梯形,若该三棱台的体积最大值为,则下列说法可能但不一定正确的是( )
A.该三棱台的体积最小值为 | B. |
C. | D. |
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7 . 1941年中国共产党在严重的困难面前,号召根据地军民,自力更生,艰苦奋斗,尤其是通过开展大生产运动,最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子,在结构简图中线段与所在直线异面垂直,分别为的中点,且,线拐子使用时将丝线从点出发,依次经过又回到点,这样一直循环,丝线缠好后从线拐子上脱下,称为“束丝”.图中,则丝线缠一圈长度为( )
A. | B. | C. | D. |
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名校
解题方法
8 . 已知二面角的大小为,,,且,,则( )
A.是钝角三角形 | B.异面直线AD与BC可能垂直 |
C.线段AB长度的取值范围是 | D.四面体体积的最大值为 |
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名校
解题方法
9 . 设三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:成立.我们把叫做基底,把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.已知三棱锥.以为坐标原点,以为轴正方向,以为y轴正方向,以为轴正方向,以同方向上的单位向量为基底,建立斜坐标系,则下列结论正确的是( )
A. | B.的重心坐标为 |
C.若,则 | D.异面直线AP与BC所成角的余弦值为 |
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2024-04-06更新
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115次组卷
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2卷引用:江苏省淮阴中学2023-2024学年高二下学期级阶段测试(一)数学试卷
名校
10 . 如图,三棱锥的棱长都相等,记,,,点在棱上, .
(1)若D是棱的三等分点(靠近点),用向量,,表示向量;
(2)若D是棱的中点,,求三棱锥的棱长.
(1)若D是棱的三等分点(靠近点),用向量,,表示向量;
(2)若D是棱的中点,,求三棱锥的棱长.
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