1 . 设曲线过两点，直线与曲线交于两点，与直线交于点.
（1）求曲线的方程；
（2）记直线的斜率分别为，求证：，其中为定值.

2 . 已知点在圆上，，，线段的垂直平分线与相交于点.
（1）求动点的轨迹方程;
（2）若过点的直线斜率存在，且直线与动点的轨迹相交于，两点.证明：直线与的斜率之积为定值.

3 . 已知椭圆，右焦点为F(4，0)，短轴长为4.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若过点T(0，1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT中点为P，线段BT中点为Q，且|OP|=|OQ|(O为坐标原点)，求所有满足条件的直线l方程.

4 . 设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值．

5 . 已知命题，命题方程表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若p为真，求实数m的取值范围；
（2）若是假命题，是真命题，求实数m的取值范围．

6 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：.

7 . 已知椭圆的离心率为，点分别是左、右顶点，P是椭圆上异于的任意一点，面积的最大值为12．
（1）求椭圆方程；
（2）直线分别交y轴于两点，求证：为定值．

8 . 已知命题，；命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若q为真，求实数m的取值范围；
（2）若是假命题，是真命题，求实数m的取值范围．

9 . 在圆内有一点，动点M为圆A上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点N，设点N的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）若直线与轨迹C交于不同两点E，F，轨迹C上存在点P，使得以为邻边的四边形为平行四边形(O为坐标原点)，求证：的面积为定值.

10 . 已知椭圆E：的离心率为，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点任作一条直线l，l与椭圆E交于不同于P点的A，B两点，直线l与直线m：交于C点，记直线，，的斜率分别为，，，试探究与的关系，并证明你的结论.