1 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．

   

(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．

2 . 已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且．
(1)求的方程；
(2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标．

3 . 在平面直角坐标系内，以原点为圆心，（，，为定值）为半径分别作同心圆，，设为圆上任一点（不在轴上），作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点，过点，分别作轴，轴的垂线交于点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设，点，，过点的直线与轨迹交于A，B两点（两点均在y轴左侧）．
（i）若，的内切圆的圆心的纵坐标为，求的值；
（ii）若点是曲线上（轴左侧）的点，过点作直线与曲线在处的切线平行，交于点，证明：的长为定值．

4 . 已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，

(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．

5 . 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．

(1)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
(2)过的直线与相交于点三点，求证：．

6 . 已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中．
(1)求点的轨迹方程，并指出轨迹．
(2)当时，点为轨迹与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹交于、两点，直线、分别与直线相交于，两点，试问：是存在定点在以、为直径的圆上？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
(2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．

8 . （多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　）

A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5

B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2

C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1

D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2

9 . 已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．

(1)求E的方程；
(2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程：
(3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

10 . 已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，.
(1)求的方程；
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．
（i）证明：点在定直线上：
（ii）若直线与交于点，求证：．