1 . 已知直线与曲线交于、两点，为坐标原点.
(1)当时，有，求曲线的方程；
(2)当实数为何值时，对任意，都有为定值?指出的值；
(3)已知点，当，变化时，动点满足，求动点的纵坐标的变化范围.

3 . 我们把椭圆和称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质．过椭圆上任意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A、B，切线、与椭圆另一个交点分别为Q、R．
(1)设，证明:直线是过A的椭圆的切线；
(2)求证：点A是线段的中点；
(3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点P，线段的中点M都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 如图1，已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，点B是椭圆的上顶点，椭圆上一点到两焦点距离之和为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点是椭圆上异于点B的两点，，且满足的点C在y轴上，求直线的方程；
(3)设x轴上点T坐标为，过椭圆的右焦点F作直线l（不与x轴重合）与椭圆交于M、N两点，如图2，点M在x轴上方，点N在x轴下方，且，求的值．

7 . 如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点.

(1)求△的面积；
(2)若，点，重合，求点的坐标；
(3)设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值.

9 . 如图，已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上位于第一象限的点，M，N是轴上的两个动点(点位于轴上方)，满足且，线段PN交轴于点.

(1)若，求点的坐标；
(2)若四边形为矩形，求点的坐标；
(3)求证:为定值.

10 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；
(3)设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.