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1 . 已知焦点在轴上,中心在坐标原点的等轴双曲线经过点,过点作两条互相垂直的直线分别交双曲线于两点.
(1)若为等腰直角三角形,求边所在的直线方程;
(2)判断原点与的外接圆的位置关系,并说明理由.
(1)若为等腰直角三角形,求边所在的直线方程;
(2)判断原点与的外接圆的位置关系,并说明理由.
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2 . 费马原理,也称为时间最短原理:光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中,根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值(光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积).一般而言,空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图,其中平凸透镜的平面圆直径为6,且与轴交于点.平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜,所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像.(提示:光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射)
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线,直线与交于,两点,交轴于点,交轴于点(点不与的顶点重合).若,,试求出点所有可能的坐标.
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线,试判断属于哪一种圆锥曲线,并求出其相应的解析式.
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线,直线与交于,两点,交轴于点,交轴于点(点不与的顶点重合).若,,试求出点所有可能的坐标.
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3 . 对称轴都在坐标轴上的双曲线过点,,斜率为的直线过点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线与双曲线有两个交点,求斜率的取值范围;
(3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A,B两点,且点P恰好为AB中点?为什么?
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线与双曲线有两个交点,求斜率的取值范围;
(3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A,B两点,且点P恰好为AB中点?为什么?
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4 . 人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的,以后人们又认为地球是个圆球.17世纪,牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论,这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实,之前中国就曾进行了大规模的弧度测量,发现纬度越高,每度子午线弧长越长的事实,这同地球两极略扁,赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体,椭球体的表面为椭球面,在空间直角坐标系下,椭球面,这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内,其中按其大小,分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点,过点分别作椭圆的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当时,椭球面围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点,过点分别作椭圆的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当时,椭球面围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
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5 . 过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、,与的右支交与、两点,与的右支交、两点,若、相交于点.
(1)求证:点为定点;
(2)设的中点为的中点为,当四边形的面积等于时,求四边形的周长.
(1)求证:点为定点;
(2)设的中点为的中点为,当四边形的面积等于时,求四边形的周长.
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6 . 在直角坐标系中,圆Γ的圆心P在y轴上(不与重合),且与双曲线的右支交于A,B两点.已知.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为,且圆Γ过点F,求的取值范围.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为,且圆Γ过点F,求的取值范围.
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7 . 如图,由部分椭圆和部分双曲线,组成的曲线称为“盆开线”.曲线与轴有两个交点,且椭圆与双曲线的离心率之积为.
(1)设过点的直线与相切于点,求点的坐标及直线的方程;
(2)过的直线与相交于点三点,求证:.
(1)设过点的直线与相切于点,求点的坐标及直线的方程;
(2)过的直线与相交于点三点,求证:.
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8 . M是一个动点,与直线垂直,垂足位于第一象限,与直线垂直,垂足位于第四象限,且.
(1)求动点M的轨迹方程E;
(2)设,,过点的直线l与曲线E交于A,B两点(点A在x轴上方),P为直线,的交点,当点P的纵坐标为时,求直线l的方程.
(1)求动点M的轨迹方程E;
(2)设,,过点的直线l与曲线E交于A,B两点(点A在x轴上方),P为直线,的交点,当点P的纵坐标为时,求直线l的方程.
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9 . 已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2,过E的右焦点F作垂直于x轴的直线,该直线被E截得的弦长为6.
(1)求E的方程;
(2)若面积为3的的三个顶点均在E上,边过F,边过原点,求直线的方程:
(3)已知,过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P,Q,l上是否存在点S满足,且?若存在,求点S的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
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10 . 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时,数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中,借用帕普斯的研究,使某锐角的顶点与坐标原点重合,点在第四象限,且点在双曲线的一条渐近线上,而与在第一象限内交于点.以点为圆心,为半径的圆与在第四象限内交于点,设的中点为,则.若,则的值为__________ .
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