1 . 已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.
证明：当时，直线过定点.

2 . 已知椭圆的离心率为，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过定点的直线交椭圆于不同的两点、，点关于轴的对称点为，试证明：直线与轴的交点为一个定点，且（为原点）．

3 . 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，且有3a²＝4b²+1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，过点M作直线x＝3的垂线，垂足为点P，证明直线NP经过定点，并求出这个定点的坐标．

4 . 已知椭圆的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点.
（1）若l过点F，点M，N到直线y＝2的距离分别为d₁，d₂，且，求l的方程；
（2）若点M的坐标为（0，1），直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点.

5 . 已知椭圆:的左、右焦点分别为,,上顶点为,离心率为,且的面积为.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点的直线与椭圆交于,两点,且点,位于轴的同侧,设直线与轴交于点,,若,求直线的方程.

6 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.

7 . 如图，直线()关于直线对称的直线为，直线，与椭圆分别交于点A，M和A，N，记直线的斜率为．

（1）求的值；
（2）当变化时，直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

8 . 已知椭圆C：的长轴长为4，其上顶点到直线的距离等于．

求椭圆C的方程；
若直线l与椭圆C交于A，B两点，交x轴的负半轴于点E，交y轴于点点E、F都不在椭圆上，且，，，证明：直线l恒过定点，并求出该定点．

9 . 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由．

10 . 设椭圆的右焦点为，右顶点为，且，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.
（1）求的方程；
（2）设过且斜率不为零的直线与交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.