1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.

(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.

2 . 动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.

3 . 如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.
   
(1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.
①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；
②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.

4 . 已知椭圆的方程为，为椭圆短轴顶点，为椭圆的右顶点

(1)若点满足，求点的坐标；
(2)设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；
(3)设点的坐标是，是否存在过中点的直线，使得与椭圆的两个交点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.
   
(1)求直线与直线交点的轨迹方程；
(2)当时，过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值.

6 . 已知椭圆的一个焦点是．直线与直线关于直线对称，且其相交于椭圆的上顶点．
(1)求的值；
(2)设直线分别与椭圆交于两点，证明：直线过定点．

7 . 点在单位圆上运动，点的横坐标为点的横坐标的倍，纵坐标相同．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知、为曲线与轴的左、右交点，动直线交曲线于、两点（均不与、重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，试问动直线是否恒过定点?若过，求出该点坐标：若不过，请说明理由．

8 . 已知椭圆，过椭圆上一动点引圆的两条切线为切点，直线与轴、轴分别交于点．
(1)已知点坐标为，求直线的方程；
(2)若圆的半径为2，且，过椭圆的右焦点作倾斜角不为0的动直线与椭圆交于两点，点在轴上，且为常数，求的面积的最大值．

9 . 已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是的顶点．

(1)求的方程；
(2)若，，三点均在上，且，直线，，的斜率均存在，证明：直线过定点（用，表示）．

10 . 已知动点到直线的距离与它到定点的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)记与轴的上､下半轴的交点依次为，若为上异于的一点，且直线分别交直线于两点，直线交于点（异于）.
（i）求直线的斜率之积；
（ii）证明：直线恒过定点.