1 . 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．

3 . 已知，，点P满足，记点P的轨迹为E.直线l过点且与轨迹E交于P、Q两点.
(1)无论直线l绕点怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值；
(2)在（1）的条件下，求面积的最小值.

4 . 已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若轴上是否存在定点，使过点且斜率为的直线与曲线相交于（均不同于两点，且分别为直线的斜率）？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 平面上一动点满足．
(1)求P点轨迹的方程；
(2)已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值

7 . 已知双曲线的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为，离心率为，

(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的右支上异于点的动点，直线与直线相交于点，直线与双曲线的另一个交点为，直线垂直于点，问是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由，

8 . 已知双曲线的离心率为，右焦点为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点， 使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．

9 . 已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为_________.

10 . 已知双曲线的渐近线方程为的焦距为，且.
(1)求的标准方程；
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（i）的斜率之积为定值；
（ii）存在定点，使得关于点对称.