1 . 下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若的展开式中的常数项为60，则

D．若随机变量的方差，则

2 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)证明：

3 . 下列说法正确的是（       ）

A．随机变量，且，则

B．随机变量Y服从两点分布，且，则

C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强

D．在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32

4 . 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作．
设集合．
(1)求；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造，
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构．
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．

5 . 设，其中n是正整数，a为正实数．
(1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项；
(2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）．

6 . （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.

7 . 设n为正整数，数列是首项为1，公比为的等比数列.从中任意选取两项和，若它们的和大于，则称该选取为“有效选取”.
(1)当时，求所有“有效选取”的种数；
(2)若，证明：对于任意的n，都存在“有效选取”；
(3)若，证明：对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于.

8 . 自然常数是自然对数的底数，是极为重要的常数，通常称为欧拉数.它的发现和研究跨越了多个世纪，涉及了众多数学家的贡献，从雅各布·伯努利的早期工作到莱昂哈德·欧拉的深入研究，再到现代数学家对其性质的进一步探索，充分展现了数学知识的积累和发展，以及数学精神的传承.瑞士数学家雅各布·伯努利于1683年通过研究复利首先发现，即是数列的极限.
(1)证明：；
(2)已知函数.
①若，证明：；
②讨论的极值点的个数.

9 . 近年来，为响应节能减排号召，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，以纯电动汽车为主力的新能源汽车逐渐成为中国汽车的新名片.据统计，2017年至2023年全国新能源汽车保有量（百万辆）如下：

年份	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023
年份代码	1	2	3	4	5	6	7
保有量	1.9	2.8	4.1	4.4	5.7	10.6	12.5

并计算得，，.
(1)根据上表数据，求出关于的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，预测2028年全国新能源汽车保有量；
(3)根据往年的汽车销售数据可知今年汽车保有量的增量为百万辆，设新能源汽车保有量的年增量的估计值与今年汽车保有量的增量的比为，用作为今年购车的客户购买新能源汽车概率的估计值.记某汽车销售公司今年位客户中，恰有位购买新能源汽车的概率为，求为何值时，有最大值.
附：，.

10 . 设平面内一圆，圆上有个点，将这个点两两连线，已知任意三条连线都不共点，设所有连线将圆分为了个区域．
(1)在答题卡提供的圆上画出的情形，并直接写出 ．
(2)现希望求圆内所有弦交点的个数，数学小组位同学发表了以下观点．
小明：由于两条弦会交于一点，因此我用计算；
小红：我觉得不对，时显然不成立．

小红这么说的理由除了举反例，还可以怎么说明？从交点的形成方式的角度请给出你的计算方法．

(3)数学小组同学发现，对于平面内任意无相交线的节点图，若其有个顶点，条连线并切割出了个区域，则一定有，如当平面内仅有一个点时，，，显然满足公式．利用本题给出的所有信息，求．你能解释为什么取到某些值时，是的次幂吗？