解题方法
1 . 假设某同学每次投篮命中的概率均为
．
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.
(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投
个球，若这
个球都投进，则训练结束，否则额外再投
个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
．(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.
(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投
个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
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2 . 下列说法中，正确的是（ ）
A．已知一系列样本点 一个经验回归方程 ，若样本点 与 的残差相等，则 |
B．已知随机变量 ，若 ，则 |
| C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240 |
| D．每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3 |
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3 . 中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为
，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为
.三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
(1)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率;
(2)每盒绿茶（净重
）原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为
元，求随机变量的分布列及数学期望.
，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.(1)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率;
(2)每盒绿茶（净重
）原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望.
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4 . 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平
）？
附：
，其中
，
．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢
局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为
，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望
．
男生 | 女生 | 总计 | |
A等级 | 40 | 20 | 60 |
B等级 | 20 | 20 | 40 |
总计 | 60 | 40 | 100 |
）？附：
，其中，．(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢
局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设
为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．
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5 . 某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．
(1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？
(2)常用
表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计
的值；
(3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望．
附：
，
．
不吸烟者 | 吸烟者 | 总计 | |
不患慢性气管炎者 | 120 | 160 | 280 |
患慢性气管炎者 | 15 | 45 | 60 |
总 计 | 135 | 205 | 340 |
(2)常用
表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值；(3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望．
附：
，．
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解题方法
6 . 有标号依次为1，2，…，(
，
)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从
号盒子里取出2个球放入号盒子为止．
(1)当
时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)设号盒子中红球个数为随机变量
，求
的分布及
，并猜想
的值（无需证明此猜想）．
(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止．(1)当
时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)设
号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）．
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7 . 伴随着网络购物的深入普及，购物形式日渐多样化，打破了传统购物的局限性．有研究表明，网络购物与人的年龄存在一定的关系．某调研机构随机抽取50人近三天的网络购物情况，得到了如下统计表：
(1)若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成网络购物
列联表，并判断是否有
的把握认为“使用网络购物”与人的年龄有关；
(2)若从年龄在
，
内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用网络购物”的人数为
．
①求随机变量的分布列；
②求随机变量的数学期望．
参考数据：
参考公式：
，其中．
年龄/岁 |
|
|
|
|
|
|
人数 | 10 | 10 | 10 | 10 | 5 | 5 |
使用网购人数 | 8 | 10 | 7 | 7 | 2 | 1 |
列联表，并判断是否有的把握认为“使用网络购物”与人的年龄有关；年龄不低于55岁 | 年龄低于55岁 | 合计 | |
使用 | |||
不使用 | |||
合计 |
，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用网络购物”的人数为．①求随机变量
的分布列；②求随机变量
的数学期望．参考数据：
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中．
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2024高二下·全国·专题练习
解题方法
8 . 图①是一颗拥有完美正八面体晶形的钻石，其示意图如图②.设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝2.
；
(2)求ξ的分布列.
；(2)求ξ的分布列.
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9 . 土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：
其散点图如下，散点大致分布在指数型函数
的图象附近．
关于
的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间
内的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
细菌 百万个 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
真菌 百万个 | 8.0 | 10.0 | 12.5 | 15.0 | 17.5 | 21.0 | 27.0 | 39.0 |
的图象附近．
关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌
（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.附：经验回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
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解题方法
10 . 高一（1）班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为，每位攻擂者答出每道题的概率为.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.
(1)求攻擂者组每道题答对的概率
及守擂者组第1题后得分为0分的概率
；
(2)设为3题后守擂者的得分，求的分布列与数学期望
.
，每位攻擂者答出每道题的概率为.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.(1)求攻擂者组每道题答对的概率
及守擂者组第1题后得分为0分的概率；(2)设
为3题后守擂者的得分，求的分布列与数学期望.
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