1 . 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

2 . 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．

3 . 已知代数式是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b．如图，在数轴上有点A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c．已知．

(1)求a，b，c的值；
(2)若动点P，Q分别从C，O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段的中点，点为线段的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求的值．
(3)若动点P，Q分别自A，B出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段上一点（点T不与点M，N重合），在运动的过程中，若满足（点T不与点P重合），求出此时线段的长度．

4 . 如图，在和中，，，．

(1)当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？写出结论并说明理由；
(2)将图①中的的位置改变一下，如图②，其他条件不变，则线段又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

6 . 体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．
探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．
拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
   

7 . 如图（1），，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）
   
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
(2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明；
(3)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与以B、P、Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x、t的值：若不存在，请说明理由．

8 . 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接．

(1)求的度数；
(2)连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明；
(3)若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值．

9 . （1）问题背景．
如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．
童威同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是      ．   
（2）猜想论证．
如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
   
（3）拓展应用．
如图3，在四边形中，，连接、，，，且．则的面积为      ．
   

10 . 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．

         

(1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________．
(2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明．
(3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长．