【推荐1】如图，直线y＝x，点A₁坐标为（1，0），过点A₁作x轴的垂线交直线于点B₁，以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交x轴于点A₂；再过点A₂作x轴的垂线交直线于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交x轴于点A₃，..按此做法进行下去，点A₄的坐标为_____，点A_n的坐标为_____．

【推荐2】在平面直角坐标系中，中，点，若随变化的一族平行直线与（包括边界）相交，则的取值范围是______.

【推荐3】如图，点A（﹣2，0），直线l：y＝与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA₁，过点A₁作A₁B₁∥x轴，交直线l于点B₁，以A₁B₁为边作等边△A₁B₁A₂，过点A₂作A₂B₂∥x轴，交直线l于点B₂，以A₂B₂为边作等边△A₂B₂A₃，则点A₃的坐标是_____．

【推荐1】如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点，从点向半径引垂线 交于点，设的内角平分线交于点，但点在弧上从点运动到点时，则点所经过的路径长为_____________
   

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1，1)，弧AA₁是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A₁A₂是以点O为圆心，OA₁为半径的圆弧；弧A₂A₃是以点C为圆心，CA₂为半径的圆弧；弧A₃A₄是以点A为圆心，AA₃为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA₁A₂A₃A₄A₅…，称为正方形的“渐开线”，则弧A₂₀₁₉A₂₀₂₀的长是____．

【推荐3】如图，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，的长为半径画弧交轴正半轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，的长为半径画弧交轴正半轴于点，...，按此做法进行下去，则的长是______．
   

【推荐1】将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．将△EDF绕点D顺时针方向旋转角，交AC于点M，交BC于点N，则的值为______．

【推荐2】如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为______．

【推荐3】如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形．点是上一点，且，连接，，则________度，运动变化过程中，的最小值为________．