【推荐1】

九年级教材内容改编	结合教材图形给出新定义
对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．     图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．	如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心

(1)①在图1中位似中心是点______；
②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”）
(2)如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．

   

①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标；
②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]．

【推荐2】已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O，
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若，，求的值．
(3)在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得的面积等于，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐1】已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

【推荐2】如图，已知抛物线y=x²+3与x轴交于点A、B,与直线y=x+b相交于点B、C,直线y=x+b与y轴交于点E.
（1）写出直线BC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A、B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积s与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

【推荐3】如图，在中，，D是边AB的中点，动点P在线段BA上且不与点A，B，D重合，以PD为边构造，使，，且点Q与点C在直线AB同侧，设，与重叠部分图形的面积为S．

（1）当点Q在边BC上时，求BP的长；
（2）当时，求S关于x的函数关系式.