【推荐1】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
   
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若菱形的周长为，，求点A到的距离．

【推荐2】如图，四边形是平行四边形，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形是菱形，，，求的长．

【推荐3】在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF=CE．

（Ⅰ）如图①，求证四边形AECF是平行四边形；
（Ⅱ）如图②，若∠BAC=90°，且四边形AECF是边长为6的菱形，求BE的长．

【推荐1】如图，矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边AD、BC上，直线EF垂直平分对角线AC，垂足为点 O，M、N 分别为线段 EC、OC 的中点．
（1）求证：四边形EAFC是菱形．
（2）若AB＝4，DA＝8，则tan∠MAN＝       ．

【推荐2】如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积．

【推荐3】【探究与证明】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．

(1)【问题解决】如图①，若，求证：
小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点D作交于点E，过点B作交于点F，如图①所示：则
∴____________（填写位置关系）
∴____________；
∴____________；
∵；
；
∴．
(2)【探索推广】如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图③，在上取一点，使．过点作交于点，点为的中点，交于点，且，若，求值．