已知:如图,矩形的两条对角线与相交于点O,点E、F分别是线段的中点,联结.
(1)求证:四边形是等腰梯形;
(2)过点O作,垂足为点M,联结,如果,求证:四边形是菱形.
(1)求证:四边形是等腰梯形;
(2)过点O作,垂足为点M,联结,如果,求证:四边形是菱形.
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更新时间:2022-07-12 14:11:25
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较难
(0.4)
【推荐1】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD = 6,BC = 8,,点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.
设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围).
(2)当BP = 1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.
(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围).
(2)当BP = 1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.
(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图,O是平面直角坐标系的原点.在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于C,A(1,1),B(3,1),动点P从O点出发,沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动.设P点运动的时间为t秒(0<t<2).
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;
(2)过P作PD⊥OA于D,以点P为圆心,PD为半径作⊙P,⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q.
①则P点的坐标为_____,Q点的坐标为_____;(用含t的代数式表示)
②试求t为何值时,⊙P与四边形OABC的两边同时相切;
③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S,请直接写出S与t的函数解析式.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;
(2)过P作PD⊥OA于D,以点P为圆心,PD为半径作⊙P,⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q.
①则P点的坐标为_____,Q点的坐标为_____;(用含t的代数式表示)
②试求t为何值时,⊙P与四边形OABC的两边同时相切;
③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S,请直接写出S与t的函数解析式.
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【推荐1】已知:如图1,在四边形中,,.P是边上一动点,联结,将绕点P顺时针方向旋转,得到,联结.(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)M是延长线上一点,联结,且.
①若,求证:;
②如图2,若,,联结、,求证:.
(2)M是延长线上一点,联结,且.
①若,求证:;
②如图2,若,,联结、,求证:.
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(0.4)
【推荐2】在四边形中,,,.(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)若点为线段上的动点点不与点重合,连接,过点作交直线于点.
①如图2,当点为线段的中点时,请直接写出,的数量关系;
②如图3,当点在线段上时,求证:.
(2)若点为线段上的动点点不与点重合,连接,过点作交直线于点.
①如图2,当点为线段的中点时,请直接写出,的数量关系;
②如图3,当点在线段上时,求证:.
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(0.4)
【推荐1】在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E为线段AD上的一点,AE:DE=2:1,以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF,使∠EAF=90°,连接CE,G为CE的中点.
(1)如图1,EF与AC交于点H,连接GH,求线段GH的长度.
(2)如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为α且45°<α<135°,H为线段EF的中点,连接DG,HG,猜想∠DGH的大小是否为定值,并证明你的结论;
(3)如图3,连接BG,将△AEF绕点A逆时针旋转,在旋转过程中,请直接写出BG长度的最大值.
(1)如图1,EF与AC交于点H,连接GH,求线段GH的长度.
(2)如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为α且45°<α<135°,H为线段EF的中点,连接DG,HG,猜想∠DGH的大小是否为定值,并证明你的结论;
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名校
【推荐2】点是正方形对角线上一动点,点在射线上,且,连接,为中点.(1)如图1,当点在线段上时,连接交于点,
①试判断的形状,并说明理由;
②若正方形边长为,当点为的中点,则的长为 .
(2)如图2,当点在线段上时,试探究线段,,的等量关系,并说明理由.
(3)若,连接,取的中点,则当点从点运动到点时,点所经过的路径长为 .
①试判断的形状,并说明理由;
②若正方形边长为,当点为的中点,则的长为 .
(2)如图2,当点在线段上时,试探究线段,,的等量关系,并说明理由.
(3)若,连接,取的中点,则当点从点运动到点时,点所经过的路径长为 .
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(0.4)
【推荐1】如图,为矩形的对角线,点在上,连接,是的外接圆与的延长线的一个交点,延长交圆于点,点恰好是的中点,连接,分别交,于点,,连接.
(1)求证:.
(2)求证:四边形是菱形.
(3)若恰好是的中点时,求的值.
(1)求证:.
(2)求证:四边形是菱形.
(3)若恰好是的中点时,求的值.
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较难
(0.4)
【推荐2】【问题背景】(1)在给定的一张平行四边形上作一个菱形,小明同学分别作,的角平分线,,交与点E,交于点F,连接,求证:四边形是菱形
【数学思考】(2)善于思考的小明根据平行四边形的不稳定性,得出以下结论,请判断对错.
①平行四边形的一组邻角的角平分线交点始终在该四边形的内部 ( )
②菱形的一组邻角的角平分线交点始终在该四边形的内部 ( )
③矩形的一组邻角的角平分线交点始终在该四边形的内部 ( )
【数学语言】(3)小明通过画图发现当两邻边的比值确定时,两邻角的角平分线的交点与平行四边形的位置关系也随之确定.请你帮助小明写出他的猜想:
在平行四边形中(),分别作,的角平分线,交于点O,请讨论交点与该平行四边形有不同位置关系时满足的条件.
【能力提升】(4)在平行四边形中分别作,的角平分线,,交边与点E,F,若,,,求四边形的周长.
【数学思考】(2)善于思考的小明根据平行四边形的不稳定性,得出以下结论,请判断对错.
①平行四边形的一组邻角的角平分线交点始终在该四边形的内部 ( )
②菱形的一组邻角的角平分线交点始终在该四边形的内部 ( )
③矩形的一组邻角的角平分线交点始终在该四边形的内部 ( )
【数学语言】(3)小明通过画图发现当两邻边的比值确定时,两邻角的角平分线的交点与平行四边形的位置关系也随之确定.请你帮助小明写出他的猜想:
在平行四边形中(),分别作,的角平分线,交于点O,请讨论交点与该平行四边形有不同位置关系时满足的条件.
【能力提升】(4)在平行四边形中分别作,的角平分线,,交边与点E,F,若,,,求四边形的周长.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐3】再读教材:宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形(提示:).
第一步:在矩形纸片一端 ,利用图1的方法折出一个正方形,然后把纸片展平;
第二步:如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平;
第三步:折出内侧矩形的对角线,并把折到图3中所示的处;
第四步:展平纸片,按照所得的点折出,使,则图4中就会出现黄金矩形.
(1)在图3中_________ (保留根号);
(2)如图3,则四边形的形状是_________;
(3)在图4中黄金矩形是_________.
第一步:在矩形纸片一端 ,利用图1的方法折出一个正方形,然后把纸片展平;
第二步:如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平;
第三步:折出内侧矩形的对角线,并把折到图3中所示的处;
第四步:展平纸片,按照所得的点折出,使,则图4中就会出现黄金矩形.
(1)在图3中_________ (保留根号);
(2)如图3,则四边形的形状是_________;
(3)在图4中黄金矩形是_________.
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