【推荐1】【感受新知】
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“和谐线”．[注：本题研究的角都是小于平角的角．]

（1）一个角的角平分线_______这个角的“和谐线”．（填是或不是）
（2）如图1，∠AOB=60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，求∠AOC的度数．
【运用新知】
（3）如图2，若∠AOB＝90°，射线OM从射线OA的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线ON从射线OB的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒7.5°的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为t（s），问：当射线OM、ON旋转到一条直线上时，求t的值．
【解决问题】
（4）在（3）的条件下，请直接写出当射线ON是∠BOM的“和谐线”时t的值．

【推荐2】【探索新知】
如图1，射线在内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．

（1）一个角的角平分线______________这个角的“二倍线”．（填是或不是）
（2）【运用新知】
如图2，若，射线绕从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为，若射线是的“二倍线”，求t的值．

（3）【深入研究】
在（2）的条件下．同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线旋转，当射线停止旋转时，射线也停止旋转．请直接写出当射线是的“二倍线”时t的值．

【推荐3】对于同一平面内的及内部的射线，给出如下定义：若组成的3个角：，和中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线是的“牛线”．
（1）图1中，平分，则射线_______的一条“牛线”．（填“是”或“不是”）．

（2）当射线是的“牛线”时，直接写出所有满足条件的与的关系．
（3）已知：如图2，在平面内，，若射线绕点O从射线的位置开始，以每秒5°的速度逆时针方向旋转．同时射线绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，当射线与射线碰撞后，射线的速度发生变化，以每秒5°的速度继续旋转，此时的射线则以每秒1°的速度继续旋转，当射线与射线的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为t秒，当射线是的“牛线”时，直接写出所有满足条件的t的值．

【推荐1】已知直线，、分别在直线、上，为平面里一点，连接、．

(1)如图1，延长至，和的角平分线相交于点．
①若，，则的度数为______；
②探究与的数量关系，并给予证明；
(2)如图2，与的角平分线相交于点，作平分交于，交的延长线于点，若，求的度数．

【推荐2】如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α．

   

(1)若α，求的值；
(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）；
(3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______．

【推荐3】已知：为直线 上的一点，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向（即），射线，射线的方向如各图所示．
（1）如图1所示，当 时：
①若，则射线的方向是                ．
② 与 的关系为                ，
③ 与 的关系为                ．

（2）若将射线，射线绕点旋转至图的位置，另一条射线恰好平分，旋转中始终保持．
①若，则 度 .
②若，则 （用含 的代数式表示）．
（3）若将射线，射线绕点旋转至图的位置，射线仍然平分，旋转中始终保持，则与之间存在怎样的数量关系，并说明理由．