【推荐1】如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
   
(1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°；
(2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．
运动停止时，直接写出______；
请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．

【推荐3】【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．
   
(1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数；
(2)【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______；
(3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）．

【推荐1】已知如图1，∠AOB=40°

(1)若∠AOC=∠BOC，则∠BOC=             ;
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．

【推荐2】【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；

【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2， AP、CP分别平分∠BAD. ∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；

解：∵AP、CP分别平分∠BAD. ∠BCD     
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°.
【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由.

【拓展延伸】
① 在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：________________（用α、β表示∠P），

②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论______________________

【推荐3】（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有____________个“二倍点”．
（2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____________条“二倍线”．

（3）如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”．

（4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒5°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值．

（5）在（4）的条件下，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒10°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，同时射线也停止旋转．请直接写出当射线是的“二倍线”时的值．