【推荐1】小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．求的长．
          

【推荐2】已知：如图，，，，求证：．

【推荐3】如图，矩形中，，，为上一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，旋转角等于，过点作于点，连接．

(1)求证：；
(2)求的长．

【推荐1】已知：如图，点E、F分别在平行四边形的边、上，且，与相交于点O，求证：．

【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，AC为对角线．

(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线，分别交AB、CD于点E、F，垂足为O，连接AF、CE；（保留作图痕迹不写作法）
(2)在（1）的条件下，若AC＝4，EF＝3，求四边形AECF的面积．

【推荐3】如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：四边形是平行四边形．