【推荐1】在拓展课常上，共学小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为4，宽为2．

   

【实践探究】
（1）小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图的形状，点与点重合，边与边重合，边，在同一直线上，试探究的形状，并说明理由.
【解决问题】
（2）如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，若时，求的值.
【拓展研究】
（3）从图1开始，小亮将长方形绕点顺时针转动一周，若直线与线所成夹角为时，请直接写出的面积．

【推荐2】已知线段，将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．

(1)如图1，当时，连接，求度数；
(2)如图2，当时，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上， AD=AE ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；
(2)探究证明
若△ABC为直角三角形， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点DE分别在边AB，AC上， AD=AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2．连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
若△ABC中∠BAC=120°， AB=AC=13，点D，E分别在边AB，AC上， AD=AE=5 ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是______三角形．
②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值取值范围．

【推荐2】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点P，D是上的任意一点，连接AD，已知∠ABC＝30°．
（1）求证：AP＝AB．
（2）填空：
①当∠CAD＝　 　时，四边形AODC是菱形；
②当∠CAD＝　 　时，四边形ABDC是矩形．

【推荐3】如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．
(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；
(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；
(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．