【推荐1】如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设是抛物线的对称轴上一点，且的值最小，求点的坐标；
(3)如图2，设点是线段上的一个动点，连接，，过点作的平行线，交于点，求面积的最大值；
(4)如图3，过点（点是线段上的一个动点）作轴的垂线交于点，交抛物线于点，是否存在点使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为．

   

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．

【推荐3】如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．