【推荐1】在四边形中，已知，，与相交于点O，求证．
证明：∵（______）；
∴______＝______（两直线平行，内错角相等）；
在和中；
；
∴_______；
∴______．

【推荐2】如图，四边形对角线交于点，且为中点，点、在直线上，，．求证：四边形是平行四边形．
   

【推荐3】请按以下要求用无刻度直尺作图：

（1）如图1，线段和线段关于点M成中心对称，画出点M；
（2）如图2，将绕点O逆时针旋转90°得，画出；
（3）如图3，设，将绕点C顺时针旋转得，画出．

【推荐1】如图所示， ，直线分别交，于点，，点在上，是直线上的一个动点（点不与点重合）．
   
(1)当点在射线上运动时，，说明理由．
(2)当点在射线上运动时，与有什么关系？说明理由．

【推荐2】已知AB∥DE，∠ABC＝80⁰，∠CDE＝140⁰.请你探索出一种（只须一种）添加辅助线求出∠BCD度数的方法，并求出∠BCD的度数.   

【推荐3】在小学四年级我们学过三角形的内角和等于180°；科学实验又证明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．利用上述知识进行下面的探究活动：
（一）探究：
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被平面镜b反射．若被平面镜b反射出的光线n平行于m，且∠1＝50°，则∠2＝________，∠3＝________．

（2）在（1）中，若∠1＝40°，则∠3＝________；若∠1＝55°，则∠3＝________．
（二）猜想：
（3）由（1）（2），请你猜想：当∠3＝________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的．
（三）（4）证明：请证明你的上述猜想．