【推荐2】小明在课外研究中，设计如下题目：直线过点，，直线与曲线交于点．
（1）求直线和曲线的关系式．（图1）
   
（2）小明发现曲线关于直线对称，他把曲线与直线的交点叫做曲线的顶点．（图2）
①直接写出点的坐标；
②若点从点出发向上运动，运动到时停止，求此时的面积．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点．

(1)求直线的函数解析式；
(2)试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标；
(3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，已知抛物线C₁交直线y=3于点A（﹣4，3），B（﹣1，3），交y轴于点C（0，6）．


（1）求C₁的解析式．
（2）求抛物线C₁关于直线y=3的对称抛物线的解析式；设C₂交x轴于点D和点E（点D在点E的左边），求点D和点E的坐标．
（3）将抛物线C₁水平向右平移得到抛物线C₃，记平移后点B的对应点B′，若DB平分∠BDE，求抛物线C₃的解析式．
（4）直接写出抛物线C₁关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式．

【推荐2】直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A关于直线x=-1的对称点为点C.
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（m≠0）经过A、B、C三点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线（a≠0）经过A，B两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围.

【推荐3】如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．

【推荐1】综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴交x轴于点D，交直线于点，连接，，，与直线交于点F．
   
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当的面积等于面积的时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．

(1)当，求的长；
(2)若该函数的图像与轴只有一个交点，求的值；
(3)如图2，当时，在第一象限的抛物线上有一点，直线交轴于点，直线交轴于点，，求的值．

【推荐3】已知函数（m为常数）．
（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上；
（3）若直线y=x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的最大值和最小值．

【推荐1】定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”．

(1)已知为边的“幸福线”，，，，则的长为________；
(2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值．

【推荐2】如图，四边形内接于半圆，是半圆的直径，是半圆的切线，交的延长线于点，，与相交于点，连接并延长交的延长线于点，连接．

(1)求证：．
(2)探究与的数量关系．
(3)求的值．

【推荐3】如图，已知等边△ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
   
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．