题型：解答题-证明题
难度：0.4
引用次数：586
题号：20097468
为了解学生中午的用穊方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
学生与最近食堂间的距离 |
|
|
|
|
| 合计 |
在食堂就餐 | 0.15 | 0.10 | 0.00 | 0.50 | ||
点外卖 | 0.20 | 0.00 | 0.50 | |||
合计 | 0.20 | 0.15 | 0.00 | 1.00 |
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为
（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
(1)补全频率分布表，并判断是否有99.9%的把握认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过
时，认为较近，否则认为较远）：(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件
，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件
，且、均为随机事件，证明：
：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得
元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得
元优惠，以后每天中午均获得
元优惠（其中，为已知数且
）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为
（
），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 10.828 |
更新时间：2023-09-09 22:07:27
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【推荐1】BMI指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI=体重（kg）/身高（m）的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI≥28时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：
（1）求被调查者中肥胖人群的BMI平均值
；
（2）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.
附：
，
（1）求被调查者中肥胖人群的BMI平均值
；（2）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.
 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
| 肥胖 | 不肥胖 | 合计 | |
| 高血压 | |||
| 非高血压 | |||
| 合计 |
附：
，
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名校
【推荐2】某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查.从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为
，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
（1）计算表格中x，y的值；
（2）若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；
（3）请根据频率分布表填写
列联表，并判断是否有
以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.
附表及公式：
，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：| 事件间隔（月） |  |  |  |  |  |  |  |
| 男性 | x | 8 | 9 | 18 | 12 | 8 | 4 |
| 女性 | y | 2 | 5 | 13 | 11 | 7 | 2 |
（2）若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；
（3）请根据频率分布表填写
列联表，并判断是否有以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.| 频繁更换手机 | 未频繁更换手机 | 合计 | |
| 男性顾客 | |||
| 女性顾客 | |||
| 合计 |
P（ ） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解答题-问答题
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(0.4)
名校
【推荐3】为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占
.
(1)求图1中
的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值
的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附：
.| 数学成绩优秀 | 数学成绩不优秀 | 合计 | |
| 经常整理 | |||
| 不经常整理 | |||
| 合计 |
(1)求图1中
的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；(2)根据图1、图2中的数据，补全上方
列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附：
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解答题-应用题
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为
，且每局比赛结果相互独立．
(1)若
，
，
，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当
时，
，且每局比赛结果相互独立．(1)若
，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；(2)当
时，（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据
，
，其中
表示连续用药i天，
表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：
，
，
，
，
，其中
.
(1)试判断
与
哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；
(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.
参考公式：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中.(1)试判断
与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.
参考公式：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
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解答题-问答题
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐3】当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式.上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝，上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.
（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；
（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式—全概率公式.其特殊情况如下：如果事件
，
相互对立并且
，则对任一事件B有
.设
表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率.
①用
表示
；
②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由.
（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；
（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式—全概率公式.其特殊情况如下：如果事件
，相互对立并且，则对任一事件B有.设表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率.①用
表示；②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由.
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解答题-应用题
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(0.4)
解题方法
【推荐1】某企业拥有三条相同的且相互独立的生产线．据统计，每条生产线每月出现故障的概率为
，且至多可能出现一次故障．
（1）求该企业每月有且只有
条生产线出现故障的概率；
（2）在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是
万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造
万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润．为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修．如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？（实际利润
生产线创造利润
维修工人费用）
，且至多可能出现一次故障．（1）求该企业每月有且只有
条生产线出现故障的概率；（2）在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是
万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润．为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修．如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？（实际利润生产线创造利润维修工人费用）
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了
份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中
份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.
（1）若
，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；
（2）若
，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为
，
①求的概率分布；
②求
.
份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若
，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若
，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为，①求
的概率分布；②求
.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐3】某厂计划购买
台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需
元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要
元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状图．
以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记
表示
台机床四年内实际共需更换的易损零件数，
表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，
为购买机床时备用件数发生的概率．
（1）求
时的最小值；
（2）求的分布列及备用的易损零件数
时的数学期望；
（3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量
表示不同技工的年龄，变量
为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程
，已知他们年龄的方差为
，所对应的效益方差为
.
①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据
的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程
的斜率
和截距
及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：
，
.
台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状图．以这
台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，为购买机床时备用件数发生的概率．（1）求
时的最小值；（2）求
的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；（3）将购买的机床分配给
名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为.①试预测年龄为
岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；②试根据
的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．附：下面三个计算回归直线方程
的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：，.
您最近半年使用：0次
求当天商品进货的概率.
记
求
求
