【推荐1】已知数列是正数组成的数列，其前项和为，对于一切均有与2的等差中项等于与2的等比中项．
（I）计算并由此猜想的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（I）中你的猜想．

【推荐2】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律．右边的数字三角形可以看作当n依次取0，1，2，3，…时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列．例：，，，…．

（1）写出数列的通项公式（结果用组合数表示），无需证明；
（2）猜想，与的大小关系，并用数学归纳法证明．

【推荐3】设数列各项均为正数，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求；
（3）试用数学归纳法证明：．