2023高三·全国·专题练习
1 . 证明：不存在整数x，y使方程 
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2 . 设正整数
整系数多项式
证明：同余方程
有解的必要条件是同余方程
有解．
整系数多项式证明：同余方程有解的必要条件是同余方程有解．
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3 . 设
是大于3的素数，证明：
至少含有一个不同于的素因数．
是大于3的素数，证明：至少含有一个不同于的素因数．
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4 . 设是素数，
证明
是素数，证明
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5 . 设
是正整数，证明：
是正整数，证明：
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6 . 设
表示正整数的所有正因数的个数，
表示模的一个简系的元素个数证明：
表示正整数的所有正因数的个数，表示模的一个简系的元素个数证明：
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7 . 设正整数
，
，
满足
，
，则这样的，，有（ ）
，，满足，，则这样的，，有（ ）| A．8组 | B．9组 | C．10组 | D．11组 |
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8 . 一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（ ）
| A．9 | B．10 | C．11 | D．前三个答案都不对 |
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解题方法
9 . 已知
是整系数方程
的一个无理根，求证：存在常数
，使得对任意互质的正整数p，q，均有
，
是整系数方程的一个无理根，求证：存在常数，使得对任意互质的正整数p，q，均有，
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10 . 若一个正整数是3的倍数，将它的各个数字分别立方求和，称为第一次运算；得到一个新数，再将新数的各个数字分别立方求和，称为第二次运算；重复上述运算若干次，你会发现最后这个数将一成不变，称这个数为“魔数”．若现有一个3的倍数是9，则它的第三次运算结果是____________ ，这个“魔数”是__________ ．
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