21-22高二·全国·课后作业
1 . 观察实际情景,提出并分析问题
(1)实际情景
双十—就要到了,那时候大家都很忙,卖家搞促销,想赚更多的钱,买家想货比三家,买到物美价廉的商品,在这个交易过程中,快递不可或缺,你们有没有发现,商品都会被形形色色的盒子所包装,对于快递公司而言,包装同一个商品,用的材料越少越好,而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好,这样制作非常环保.
(2)提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪,做成一个无盖的方底纸盒,当盒底边长与高分别为多少时,盒子容积最大?最大容积是多少?
(3)分析问题
容积的计算依据裁剪的方法,由学生根据自己所学知识确定裁剪方法,确定剪裁方法后,我们可以通过长度关系,用未知数表示盒子容积,根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法.
2.收集数据
现有一个面积为
平方厘米的正方形纸板
.
3.剪裁过程
裁剪方案1:去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得正方形的四个点重合于图中的点
,正好形成一个长方体形状的包装盒.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/c895d997-d1c9-4bd8-8d3b-1584e1fac764.png?resizew=326)
裁剪方案2:如图所示,先在正方形的相邻两个角各切去边长为
的正方形,然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为
、
的矩形,再将剩余部分沿图中的虚线折起.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/5f16f87e-012c-4fe9-a3c1-ba6184f18efb.png?resizew=368)
4.问题解决
裁剪方案1:设包装盒的高为
,底面边长为
,
则
,
,
,
所以
,
;
可得
,
当
时,
;当
时,
,
所以函数
在
上递增,在
上递减,
当
时,
取得极大值也是最大值:
.
所以当
时,包装盒的容积最大是
.
裁剪方案2:因为包装盒高
,底面矩形的长为
,宽为
,
所以包装盒的容积为
,
函数的定义域为
.
,
令
,解得
,
∴当
时,
,函数
单调递增;
当
时,
,函数
单调递减,
∴当
时,函数
取得极大值,也是函数
的最大值,
所以![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2879926a0ba77b655bf2132d7f45cce6.png)
.
比较两种模型,故选择裁剪方案1.
5.检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法,可能会有其他的裁剪方法,求得的容积可能会更大.
6.延伸拓展
请同学们集思广益,研究一下是否有其他裁剪方法,并计算出相应的容积的最大值.
(1)实际情景
双十—就要到了,那时候大家都很忙,卖家搞促销,想赚更多的钱,买家想货比三家,买到物美价廉的商品,在这个交易过程中,快递不可或缺,你们有没有发现,商品都会被形形色色的盒子所包装,对于快递公司而言,包装同一个商品,用的材料越少越好,而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好,这样制作非常环保.
(2)提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪,做成一个无盖的方底纸盒,当盒底边长与高分别为多少时,盒子容积最大?最大容积是多少?
(3)分析问题
容积的计算依据裁剪的方法,由学生根据自己所学知识确定裁剪方法,确定剪裁方法后,我们可以通过长度关系,用未知数表示盒子容积,根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法.
2.收集数据
现有一个面积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ac38bb42a83e0fe2765b3548ca303ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
3.剪裁过程
裁剪方案1:去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得正方形的四个点重合于图中的点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/c895d997-d1c9-4bd8-8d3b-1584e1fac764.png?resizew=326)
裁剪方案2:如图所示,先在正方形的相邻两个角各切去边长为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84d0abc998ec2b780be50b061c3de05c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dde7ecce8a793b8a5f25fc1651207b83.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84d0abc998ec2b780be50b061c3de05c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/5f16f87e-012c-4fe9-a3c1-ba6184f18efb.png?resizew=368)
4.问题解决
裁剪方案1:设包装盒的高为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8f4f9e6422ad83660ff1bab3d35984d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23c15e0aedfc6f6d2683107ddf363461.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d40bd88a793dcda6e7b97eebd7d6b0b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d09b57d135bbb34c183d946a48c93bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef64bb445ca1e2e0c7ee8582eb9412fa.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c92f74ca7bfc5a0b79a32a9d00686c01.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62524d743ab1c511c986636abe22d7ef.png)
可得
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/731786e0b0467bfbc2d8ece9f535bbe2.png)
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/748bf84fb77f3d6c858a62f4c7094fcc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/549ca05759c66a64ceefa61bd947c93d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d15a0d132d0bc67c99075269e75c63ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95378fdba05d450342db0d84a1b01ed.png)
所以函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ce65c6fc7cab2fd70ed05079c4a10b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa596144c146c70cd052b78ec8a42759.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5529b6cc214b0192da6e0053f2301399.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68d6415b3363727ae9f0aad1d0bf0ca4.png)
所以当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b728cdc53b94a1a89557aee9b47b3507.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/001c6f2144e9ced7f710733e35e6063f.png)
裁剪方案2:因为包装盒高
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83962b75b7a567cb9014ee38a3a8d1f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d88738f7d674d1ffec111a7ebb6d1ef3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b33d9ac1186ceec491de9ee510f6aaf7.png)
所以包装盒的容积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f395b774d1f4aac69f96d5176653ba9.png)
函数的定义域为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f7d021cb696d67120b0305adcf0f4be.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b7ee52cca87b202e4aeab5083e65c81.png)
令
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b58994af8eb805c6ef77e061abfc341b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31c1f0ec76ff53c1e6f2d5c10bb77a65.png)
∴当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/328048bf1e477b5b5ba004b0181f126e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/549ca05759c66a64ceefa61bd947c93d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80e6386ca463afca0549bf2a268df3e7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95378fdba05d450342db0d84a1b01ed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
∴当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31c1f0ec76ff53c1e6f2d5c10bb77a65.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2879926a0ba77b655bf2132d7f45cce6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eebfe47866d572265c4ea639304abbc6.png)
比较两种模型,故选择裁剪方案1.
5.检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法,可能会有其他的裁剪方法,求得的容积可能会更大.
6.延伸拓展
请同学们集思广益,研究一下是否有其他裁剪方法,并计算出相应的容积的最大值.
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名校
解题方法
2 . 校社团组织图书义卖活动,将部分义卖所得款进行捐赠,对义卖所得款为
(百元),
的班级,做统一方案,方案要求同时具备以下两个条件:①捐赠款
(百元)随班级义卖所得款
(百元)的增加而增加:②捐赠款不低于义卖所得款的75%,经测算,学校决定采用函数模型
为参数
作为捐赠方案,则同时满足①②的参数
的取值范围是___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f8f1279d1afe86edd9a61fde66cbec01.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c9c6d2a0701542b85f2c78ca5c4d4b8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04582116cd765fcc5a52f44279ad6c94.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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2021-05-28更新
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516次组卷
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3卷引用:人教A版(2019) 选修第二册 突围者 第五章 第三节 课时1函数的单调性