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1 . 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，
为线段
上的点，
为的中点，以为直径作半圆.过点作的垂线，交半圆于
，连接
，过点作
的垂线，垂足为
，则图中线段的长度是
的算术平均数
，线段
的长度是的几何平均数
，线段____ 的长度是的调和平均数
，该图形可以完美证明三者的大小关系为________ .
为线段上的点，为的中点，以为直径作半圆.过点作的垂线，交半圆于，连接，过点作的垂线，垂足为，则图中线段的长度是的算术平均数，线段的长度是的几何平均数，线段的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为
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解题方法
2 . 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少?
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2022-10-29更新
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355次组卷
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3卷引用：江苏省扬州市江都区育才中学2022-2023学年高一上学期阶段测试数学试题
名校
3 . “小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医药的发展，到明､清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价
（单位：元/千克）与第
天（
）的函数关系满足
（
为正常数）.该中药材的日销售量
（单位：千克）与的部分数据如下表所示：
已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价
日销售量）
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：①
，②
，③
，④
，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入
（单位：元）的最小值.
（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示： | 4 | 10 | 20 | 30 |
| 149 | 155 | 165 | 155 |
日销售量）(1)求
的值；(2)给出以下四种函数模型：①
，②，③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值.
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2022-10-25更新
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493次组卷
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5卷引用：安徽省亳州市第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题
安徽省亳州市第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题江苏省苏州市吴江区2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题云南省文山州砚山县第三高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）考点14 常见函数应用模型 2024届高考数学考点总动员（已下线）模块四 专题8 新情境专练 拔高 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高一人教A版
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解题方法
4 . 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称
为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式
叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）A．若 ， ， ，则 |
B．若，， ，则 的最小值为1 |
C．若，， ，则 的最小值为 |
D．，， ，则 的最小值为2 |
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2022-10-23更新
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511次组卷
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2卷引用：山东省实验中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
5 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知
，求证：
．
证明：原式
．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1)已知，求
的值；
(2)若
，解方程
；
(3)若正数
满足，求
的最小值．
例如，已知
，求证：．证明：原式
．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1)已知
，求的值；(2)若
，解方程；(3)若正数
满足，求的最小值．
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2022-10-21更新
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433次组卷
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4卷引用：广东省中山市2022-2023学年高一上学期第一次调研数学试题
广东省中山市2022-2023学年高一上学期第一次调研数学试题四川省成都市第七中学2023年高三上学期1月月考数学文科试题四川省攀枝花市第三高级中学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）第03讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式章节综合测试-【练透核心考点】
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6 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元：（3）整体代入：（4）整体求和等.例如，，求证：.证明：原式.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等式
，当且仅当
时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在
的条件下，当x为何值时，
有最小值，最小值是多少？
，求证：.证明：原式.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？
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7 . 《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，
为线段上的点，且
，
，
为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于
，连接，
，
，过点作的垂线，垂足为
，过点作的垂线
，使得
．该图形完成
的无字证明．图中线段__________ 的长度表示
，
的调和平均数
，线段______________ 的长度表示，的平方平均数
．
为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，使得．该图形完成的无字证明．图中线段，的调和平均数，线段，的平方平均数．
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解题方法
8 . 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入
万元
，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员
名（
且
），调整后研发人员的年人均投入增加
，技术人员的年人均投入调整为
万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数
，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数
，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
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2022-10-14更新
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1272次组卷
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6卷引用：重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题
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9 . 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且
为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结
，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________ ．（填写序号）
①
②
③
④
为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为①
②③
④
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2023-02-02更新
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470次组卷
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5卷引用：第一章 预备知识 单元检测-2022-2023学年高一数学北师大版（2019）必修第一册
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解题方法
10 . 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且
，
，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E. 则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
，，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E. 则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2022-09-01更新
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766次组卷
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3卷引用：江苏省南京市中华中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题
