1 . 已知椭圆C：的两焦点分别为，并且经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线交椭圆C于A，B两点，设直线与C的另一个交点分别为M，N，记直线AB，MN的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线AB的方程.

2 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且的一个焦点为，并过点．
(1)求的方程．
(2)设，为的上、下顶点，，是椭圆上不同于，的两个动点．若直线与直线交于点，点满足轴，证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆过点，且分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，交椭圆于点，连接，与，轴分别交于点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求的最大值.

4 . 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.