1 . 设、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)求的离心率；
(2)过的直线与相交于，两点.
①当为常数时. 若成等差数列，且公差不为，求直线的方程；
②当时. 延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.

2 . 如图，椭圆的右准线为，为椭圆上的动点，过点作椭圆的切线（与有且只有一个公共点），与直线交于点.当在短轴端点时，的面积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)若面积为3，求点的坐标.

3 . 如图，已知椭圆：，椭圆：，，.为椭圆上一动点且在第一象限内，直线，分别交椭圆于，两点，连结交轴于点.过点作交椭圆于，且.

（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）若记，点的横坐标分别为，求的取值范围.

4 . 设椭圆长轴的左，右顶点分别为A，B．
（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，求的最小值；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线分别交y轴于点S、T，记（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围．

5 . 木工是家居装修中重要的角色，经过他们灵巧的双手，一件件堪称艺术品的木制家具被巧妙的制作出来，如图所示就是一种木工制图工具，是直滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内往复运动一次时，带动绕转动一周（不动时也不动），处的笔尖画出的曲线记为．

（1）判断曲线的形状，并说明理由；
（2）动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上．

6 . 已知点，，的周长等于，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）是否存在过原点的直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点（其中点在线段上），且，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于的一点，轴于点，是的中点，过动点的直线与直线交于点．
（1）当时，求证：直线l与椭圆只有一个公共点；
（2）求证：点在定直线上运动．

8 . 已知椭圆，点为椭圆在第一象限的点，、为椭圆的左、右焦点，点关于原点的对称点为.
（1）设点到直线、的距离分别为、，求的取值范围；
（2）已知椭圆在处的切线的方程为：，射线交于点.求证：.