1 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C，求证：点C在一条定直线上，并求此定直线．

2 . 如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．

(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．

3 . 已知椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相交于，两点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点，求证：，，，四点在同一个圆上．

4 . 已知椭圆C：过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A是椭圆的左顶点，过右焦点F的直线l₁，与椭圆交于P，Q，直线AP，AQ与直线l₂：x=4交于M，N，线段MN的中点为E，求证：EF⊥PQ.

5 . 如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的取值范围；
(3)求证：为定值．

6 . 如图所示，椭圆中，椭圆离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线，与椭圆相交于，两点．直线的方程为：，过点作垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)①求证：直线过定点，并求定点的坐标；
②求△面积的最大值.

7 . 已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，求证：.

8 . 如图所示，椭圆的右顶点为，上顶点为为坐标原点，.椭圆离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线，与椭圆相交于两点.直线的方程为：，过点作垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)①求证：直线过定点，并求定点的坐标；
②求面积的最大值.

9 . 已知圆，椭圆．
(1)求证：圆C在椭圆M内；
(2)若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．

10 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.