1 . 已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2，过点且斜率为1的直线与椭圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若，．证明：为定值．

2 . 已知椭圆的方程为，左､右焦点分别是，，若椭圆上的点到，的距离和等于4.
（1）写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，，若原点在以线段为直径的圆外，求直线的斜率的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.

4 . 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T．
（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；
（Ⅱ）O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，求△OAB的面积最大时直线l′的方程．

5 . 曲线C的方程为x²＋＝1，其上一点P(x，y)，则3x＋y的最大值为_________.